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AntillesGuyane 2015. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 2 (5 points) (commun à tou

AntillesGuyane 2015. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 2 (5 points) (commun à tous les candidats) La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B. Partie A On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0. On rappelle que, pour tout réel a strictement positif, P(X ⩽a) = ! a 0 λe−λt dt. On se propose de calculer l’espérance mathématique de X, notée E(X), et déﬁnie par E(X) = lim x→+∞ ! x 0 λte−λt dt. On note R l’ensemble des nombres réels. On admet que la fonction F déﬁnie sur R par F(t) = − " t + 1 λ # e−λt est une primitive sur R de la fonction f déﬁnie sur R par f(t) = λte−λt. 1) Soit x un nombre réel strictement positif. Vériﬁer que ! x 0 λte−λt dt = 1 λ $ −λxe−λx −e−λx + 1 % . 2) En déduire que E(X) = 1 λ. Partie B La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0. La courbe de la fonction densité associée est représentée en annexe 2. 1) Sur le graphique de l’annexe 2 (à rendre avec la copie) : a) Représenter la probabilité P(X ⩽1). b) Indiquer où se lit directement la valeur de λ. 2) On suppose que E(X) = 2. a) Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ? b) Calculer la valeur de λ. c) Calculer P(X ⩽2). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0, 01 près. Interpréter ce résultat. d) Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. Partie C Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note D1 l’événement « le composant 1 est défaillant avant un an » et on note D2 l’événement « le composant 2 est défaillant avant un an ». On suppose que les deux événements D1 et D2 sont indépendants et que P (D1) = P (D2) = 0, 39. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : 1 2 Circuit en parallèle A Circuit en série B 1 2 http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1) Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an. 2) Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. A RENDRE AVEC LA COPIE ANNEXE 2 de l’exercice 2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y http ://www.maths-france.fr 3 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. Antilles Guyane 2015. Enseignement spéciﬁque EXERCICE 2 : corrigé Partie A 1) Soit λ > 0. Pour tout réel x > 0, ! x 0 λte−λt dt = " − # t + 1 λ $ e−λt %x 0 = − # x + 1 λ $ e−λx + # 0 + 1 λ $ e0 = −λx + 1 λ e−λx + 1 λ = 1 λ & −λxe−λx −e−λx + 1 ' . 2) Puisque λ > 0, lim x→+∞−λxe−λx = lim y→−∞yey = 0 d’après un théorème de croissances comparées. D’autre part, lim x→+∞e−λx = lim y→−∞ey = 0. Donc, lim x→+∞ 1 λ & −λxe−λx −e−λx + 1 ' = 1 λ (0 + 0 + 1) = 1 λ. Ceci montre que E(X) = 1 λ. Partie B 1) a) P(X ⩽1) = ! 1 0 λe−λx dx. La fonction densité représentée sur le graphique ci-dessous est la fonction g : x "→ λe−λx. Donc, P(X ⩽1) est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine coloré ci-dessous. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y b) g(0) = λe0 = λ. λ est donc l’ordonnée du point de la courbe ci-dessus d’abscisse 0. Sur le graphique, on lit λ = 0, 5. 2) a) Dire que E(X) = 2 signiﬁe que en moyenne, la durée de vie d’un composant électronique est de 2 ans. b) 1 λ = 2 fournit λ = 1 2 ou encore λ = 0, 5. c) Pour tout réel a ⩾0, P(X ⩽a) = ! a 0 λe−λx dx = ( −e−λx)a 0 = & −e−λa' − & −e0' = 1 −e−λa = 1 −e−0,5a. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. En particulier, P(X ⩽2) = 1 −e−0,5×2 = 1 −e−1 = 0, 63 arrondi à 0, 01. Ceci signiﬁe que la probabilité que le composant électronique fonctionne au plus deux ans est environ 0, 63. d) La probabilité demandée est PX⩾1(X ⩾3). PX⩾1(X ⩾3) = 1 − & 1 −e−0,5×3' 1 −(1 −e−0,5×1) = e−1,5 e−0,5 = e−1. Partie C 1) La probabilité demandée, c’est-à-dire la probabilité que les deux composants soient défaillants avant un an, est P (D1 ∩D2). Puisque les événements D1 et D2 sont indépendants, P (D1 ∩D2) = P (D1) × P (D2) = (0, 39)2 = 0, 1521. 2) L’événement « le circuit B est défaillant avant un an » est l’événement contraire de l’événement « aucun des deux composants n’est défaillant avant un an » qui est l’événement D1 ∩D2. Puisque les événements D1 et D2 sont indépendants, on sait que les événements D1 et D2 sont indépendants. Donc P & D1 ∩D2 ' = P & D1 ' × P & D2 ' = (1 −0, 39)2 = 0, 612 = 0, 3721. La probabilité demandée est alors 1 −P & D1 ∩D2 ' = 1 −0, 3721 = 0, 6279. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. uploads/S4/ 2015-antilles-guyane-exo2-1.pdf