(Chapter head:)Chapitre 2 : Groupes, anneaux, corps 1. Introduction Pourquoi le

(Chapter head:)Chapitre 2 : Groupes, anneaux, corps 1. Introduction Pourquoi les groupes ? Il est bien clair pour le géomètre que si l’on démontre une propriété pour tous les cercles centrés en un point O du plan, alors cette propriété est valable pour tous les cercles, quelle que soit la place de leur centre. Il est bien clair aussi que parmi les entiers n entre 0 et 99, dénombrer les pairs ou les impairs donne le même résultat. Aussi pour démontrer qu’une application h du plan a¢ne euclidien qui préserve les angles orientés s’exprime en a¢xes complexes par h(z) = az+b, on peut supposer que h(0) = 0 et h(1) = 1. L’idée mathématique qui suggère ces remarques est la même dans les trois cas. Dans ces situations comme dans de nombreuses autres en mathématiques, ce que l’on souhaite étudier n’est pas vraiment un objet particulier mais des propriétés de cet objet indépendantes de sa position particulière dans l’espace ; ou de sa position dans un ensemble particulier qui le contient ; ou du nom qui a été donné de manière temporaire à cet objet. Dans ce cas-là, on peut utiliser des transformations de l’espace pour déplacer l’objet, ou l’envoyer sur un autre objet qui lui ressemble (nous dirons isomorphe : qui a la même forme). Les ensembles de transformations que l’on est amené à considérer possèdent à chaque fois les propriétés d’un groupe. Voici le « pourquoi » des groupes. Les nombreux exemples à notre disposition illustreront ces propos un peu abstraits dans une profusion de situations très concrètes. De…nition 1. On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application de E  E dans E: Une loi de composition interne sur E est souvent notée :  : E  E ! E (x; y) 7! x  y ou ?; +; ; :; : : : Exemples : (1) L’addition et la multiplication sont des lci dans N: (2) Pour tout ensemble X; la réunion et l’intersection sont des lci dans P (X) : De…nition 2. Une lci  dans un ensemble E est dite associative si : 8x; y; z 2 E; (x  y)  z = x  (y  z) : Exemples : (1) L’addition et la multiplication dans C sont associatives. (2) La lci :  : Q2 ! Q (x; y) 7! x + y 2 n’est pas associative, puisque : ((1)  0)  1 = 1=4 et (1)  (0  1) = 1=4: 1 2 Notations. Soient E un ensemble,  ou  ou + une lci associative dans E; n 2 N; x1; : : : ; xn 2 E; x 2 E: On note : n  i=1xi = x1  x2 


 xn; n Y i=1 xi = x1x2 : : : xn; n X i=1 xi = x1 + x2 +


+ xn; xn = x  x 


 x; xn = xx


x; nx = x + x +


+ x (n termes ou facteurs) ; en particulier x1 = x: De…nition 3. On dit que deux éléments x; y d’un magma (E; ) commutent (ou permutables) si : x  y = y  x: De…nition 4. Une lci () dans un ensemble E est dite commutative si : 8x; y 2 E; x  y = y  x: Exemples : (1) L’addition et la multiplication dans C sont commutatives. (2) La soustraction dans C n’est pas commutative. Proposition 1. Soit (E; +) un ensemble muni d’une lci commutative et associa- tive. Alors : (1) 8n 2 N; 8 (x1; x2; : : : ; xn) 2 En; 8 (y1; y2; : : : ; yn) 2 En; n X i=1 (xi + yi) = n X i=1 xi + n X i=1 yi: (2) 8 (n; p) 2 (N)2 ; 8 (xij)1in;1jp 2 Enp; n X i=1 0 @ p X j=1 xij 1 A = p X j=1 n X i=1 xij ! : Proposition 2. (Unicité de l’élément neutre). Soient (E; ) un ensemble muni d’une lci et e; e0 2 E: Si e; e0 sont neutres pour  dans E; alors e = e0: Preuve. Plus généralement si e est neutre à gauche et e0 est neutre à droite, alors e = e0: En e¤et e  e0 = e0 (puisque e est neutre à gauche) et e  e0 = e (puisque e0 est neutre à droite).  De…nition 5. Soit (E) un ensemble muni d’une lci admettant un neutre e: Un élément x est dit symétrisable pour  s’il existe au moins un élément y de E tel que : x  y = y  x = e ; un tel élément y est appelé un symétrique de x pour : Proposition 3. Soient (E; ) un ensemble muni d’une lci et x 2 E: Si x est symétrisable pour ; alors x admet un et un seul symétrique pour : 3 Preuve. Soient y; z 2 E tels que :  x  y = y  x = e x  z = z  x = e Alors : y = y  e = y  (x  z) = (y  x)  z = e  z = z:  Notation. Le symétrique de x est noté x1: Lorsque la loi est noté ; le symétrique de x est appelé aussi inverse de x et lorsque la loi est noté +; le symétrique de x (s’il existe) est noté x et appelé opposé de x: Proposition 4. Soient (E; ) un ensemble muni d’une lci et x; y 2 E: Si x et y sont symétrisables pour ; alors x  y est symétrisable pour  et : (x  y)1 = y1  x1: Preuve. y1  x1
 (x  y) = y1  x1  x
 y
= y1  y = e et de même (x  y)  y1  x1
= e:  De…nition 6. Soient E un ensemble, ; ? deux lci dans E: (1) On dit ? est distributive à gauche (resp. à droite) sur (ou pour ou par rapport à)  si : 8x; y; z 2 E; x ? (y  z) = (x ? y)  (x ? z) (resp: (y  z) ? x = (y ? x)  (z ? x)) : (2) On dit ? est distributive sur  si ? est distributive à gauche et à droite sur : Exemples. (1) Dans R; la multiplication est distributive sur l’addition. (2) Pour tout ensemble X; chacune des deux lois \; [ est distributive sur les deux lois \; [ dans P (X) : De…nition 7. Etant donné deux ensembles muni de lci (E; ) ; (F; ?) ; on appelle morphisme de (E; ) dans (F; ?) toute application : f : E ! F telle que : 8x; y 2 E; f (x  y) = f (x) ? f (y) : Un endomorphisme (E; ) est un morphisme de (E; ) dans (E; ) : Un isomorphisme est morphisme bijectif . Un automorphisme de (E; ) est un endomorphisme bijectif de (E; ) : Exemples. (1) L’application : ln : R + ! R x 7! ln x est morphisme de R +; 
sur (R; +) : 4 (2) Soient E un ensemble, ; ? deux lci dans E: Pour que ? soit distributive à gauche (resp. droite) sur ; il faut et il su¢t que, pour tout a de E; l’application : a : E ! E x 7! a ? x (resp. a : E ! E x 7! x ? a ) soit un endomorphisme de (E; ) : 2. Groupes 2.1. Notion de groupes. De…nition 8. On dit qu’un (G; ) est un groupe si : G est non vide,  est une lci,  est associative, G admet un neutre pour  et tout élément de G admet un symétrique pour : Si de plus  est commutative, on dit que G est un groupe abélien (ou : groupe commutatif). Exemples : (1) (C; +) est un groupe abélien. (2) L’ensemble des isométries vectorielles d’un plan vectoriel euclidien est un groupe pour : Les notations les plus utilisées sont les suivantes : loi composée de neutre symétrique composée deux éléments d’un élément x  sym (y)  x  y e x1 x  y1  x  y I; 1 x1 x  y1  x:y 1 1=x x=y + x + y 0 x x y Proposition 5. Dans un groupe, tout élément est régulier. Preuve. Pour tout (x; y; z) de G3 : x  y = x  z = ) x1  (x  y) = x1  (x  z) = ) x1  x uploads/S4/ 22-23-chap2structures-alg.pdf

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• Publié le Mai 08, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
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