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EXERCICE N : 1 ( 3 points ) Le tableau ci-dessous, donne la dépense en millions

EXERCICE N : 1 ( 3 points ) Le tableau ci-dessous, donne la dépense en millions de dinars des ménages en produits informatiques ( les calculs seront arrondis à 10 – 2 près ) A ) 1 ) Construire ,dans un repère orthogonal ,le nuage de points Mi ( x i , y i ) de la série double ( X , Y ). ( 1 cm pour un rang en abscisse et 1 cm pour 200 millions de Dinars en ordonnée ) 2 ) a ) Peut-on justifier un ajustement affine de la série considérée ? b ) Calculer les coordonnées du point moyens G . 3 ) N1 désigne le nuage des points M1 , M2 ,M3 ,M4 et M5 . N2 désigne le nuage des points restants. a ) Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 associés respectivement à N1 et N2 b ) Déterminer une équation cartésienne de la droite ( G1 G2 ) de Mayer . B ) 1 ) a ) Calculer la covariance et le coefficient de corrélation linéaire du couple ( X , Y ) . b ) Interpréter le résultat obtenu . c ) Déterminer une équation cartésienne de la droite  de régression de Y en X . 2 ) Donner une estimation par la méthode de Mayer puis celle des moindres carrés des dépenses de l'année 2012 . 3 ) En utilisant la méthode des moindres carrés , estimer l'année pour laquelle les dépenses dépasseront 1500 millions de Dinars . - 1 - Lycées Houmet Souk 1 & 2 Profs: Loukil . M & Zayoud . A Devoir de Synthèse N : 3 Durée : 4 Heures 4 Mathématique 10 Mai 2012 Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Rang xi en année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dépense yi 381 451 523 601 673 753 828 896 964 1039 EXERCICE N : 2 ( 3 points ) A ) Une urne U1 contient 2 jetons numérotés 1 et 2 . Une urne U2 contient 4 jetons numérotés 1 , 2 , 3 et 4 . On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne . 1 ) Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ? 2 ) On a tiré un jeton portant le numéro 1 , quelle est la probabilité qu’il provienne de l’urne U1 ? B ) On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont équiprobables. 1 ) Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques. 2 ) Soit S la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de S . C ) Deux joueurs, Hazem et Rayen , décident que si la somme des numéros tirés est impair , Hazem donne 10 Dinars à Rayen et que dans le cas contraire Hazem reçoit  Dinars de Rayen . On note X la variable aléatoire qui , à chaque tirage associe le gain algébrique de Hazem . 1 ) Calculer l’espérance mathématique de X en fonction de . 2 ) Déduire la valeur de  pour laquelle le jeu soit équitable . EXERCICE N : 3 ( 4 points ) Dans un plan orienté , on considère un carré OABC de centre J tel que  π (OA OC) (2π) ; 2 et OA = 6 . Soient M et N les deux points définis par : AM = 1 3 OA et CN = - 1 3 OC . 1 ) a ) Caractériser la rotation R qui transforme A en C et M en N . b ) En déduire la nature du triangle BMN . 2 ) Soit K le milieu du segment [MN] a ) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe S de centre B telle que S ( M ) = K . b ) Déterminer S ( O ) . - 2 - 3 ) Soit  la similitude indirecte telle que  ( B) = C et  ( C ) = J . a ) Déterminer le rapport de  . b ) En déduire que  admet un unique point invariant Ω . c ) Caractérise la fonction composée  o  . d ) Préciser alors le centre Ω de  et construire son axe  . 4 ) On pose : = S o  – 1 . a ) Déterminer ( O ) et ( C ) . b ) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de . EXERCICE N : 4 ( 4 points ) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ) . A ) Déterminer l’ensemble ( C ) des points M , d’affixe Z , du plan tels que Z = 2 . B ) Soit f : P \{O} P ; M( Z ) M'( Z ’) tel que : Z ’ = 1 2 ( Z - 1 Z ) et A le point d’affixe π i 3 e . 1 ) Soit N le point d'affixe - 1 Z . Montrer que lorsque le point M décrit la demi droite [OA) privé du point O, le point N décrit une demi-droite D que l'on précisera . 2 ) On pose : Z = r  i e où r est un réel non nul et [ 0 ; 2 π ] . Montrer que : Z ' = 2 r -1 2 r cos + i 2 + r 1 2 r sin . 3 ) Soit M un point de ( C ) et M' = f ( M ) . a ) Montrer que M' est un point de la conique ( E ) d'équation : 2 X 9 + 2 Y 25 = 1 16 . b ) Donner la nature de ( E ) et préciser son centre , ses sommets , ses foyers et ses directrices . 4 ) a ) Montrer que l’image de la demi-droite [OA) privé du point O par la transformation f est une partie d’une conique ( H ) d’équation : 12 X 2 - 4 Y 2 + 3 = 0 . b ) Montrer que ( H ) est une hyperbole et donner ses sommets ses foyers et ses asymptotes . - 3 - EXERCICE N : 5 ( 6 points ) Soit la fonction f définie sur [ 0 ; +  [ par : f ( x ) = x + ln ( 1 + e - 2 x ) . On désigne par ( C f ) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé R ( O ; i ; j ) . A ) 1 ) Dresser le tableau de variation de f . 2 ) a ) Montrer que la droite  d'équation : y = x est une asymptote à ( Cf ) au voisinage de +  . b ) Déterminer la position de ( C f ) par rapport à  . 3 ) Tracer  et ( C f ) dans le repère R . 4 ) a ) Montrer que f est une bijection de [ 0 ; +  [ sur [ ln2 ; +  [ . b ) Tracer ( C f - 1 ) dans le même repère R . B ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN par : U0 =  ln2 0 dx et pour tout n IN* ; Un=    n ln2 0 f' ( x ) dx . 1 ) Déterminer les valeurs exactes de U0 et U1 . 2 ) a ) Montrer que pour tout x  [ 0 ; ln2 ] on a : 0 ≤ f '( x ) ≤ 3 5 . b ) En déduire que pour tout n IN on a : 0 ≤ Un ≤ n 3 ( ) 5 ln2 . c ) Déterminer alors  n + lim Un . 3 ) a ) Vérifier que la fonction f est une solution de l'équation différentielle ( E ) : ( y') 2 = 1 - y'' . b ) Montrer alors, que pour tout entier naturel n ≥ 2 on a : Un = Un - 2 - 1 n-1 n - 1 3 ( ) 5 . c ) En déduire que pour tout n IN*on a : U2n = U0 -  n 2 k-1 k=1 1 3 ( ) 5 2 k - 1 et U2n+1 = U1 -  n 2 k k=1 1 3 ( ) 5 2 k 4 ) Pour tout nIN* , on pose : Vn =  2 n k k=1 1 uploads/S4/ devoir-de-synthese-n03-math-bac-mathematiques-2011-2012-mr-loukil-mohamed.pdf