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Mathématiques Option Technologique Lundi 16 avril 2018 de 8h00 à 12h00 Durée :

Mathématiques Option Technologique Lundi 16 avril 2018 de 8h00 à 12h00 Durée : 4 heures Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00 – 13h20 L ’énoncé comporte 4 pages. CONCOURS D’ADMISSION 2018 Tournez la page s.v.p. 3 CONSIGNES Aucun document n’est permis, aucun instrument de calcul n’est autorisé. Conformément au règlement du concours, l’usage d’appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l’épreuve. Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l’énoncé et à donner des démonstrations complètes – mais brèves – de leurs affirmations. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Ce document est la propriété d’ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l’issue de l’épreuve. prépa Le concours ECRICOME PRÉPA est une marque déposée. Toute reproduction du sujet est interdite. Copyright ©ECRICOME - Tous droits réservés EXERCICE 1 On consid` ere les trois matrices de M3(R) ci dessous : M =   3 −2 −5 5 −4 −5 −8 8 6  , D =   1 0 0 0 6 0 0 0 −2  et I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  . 1. On pose : V1 =   1 1 0  , V2 =   −1 −1 1  , V3 =   −1 0 −1  . Montrer que V1, V2 et V3 sont des vecteurs propres de la matrice M, et pr´ eciser les valeurs propres associ´ ees. 2. En d´ eduire une matrice P telle que MP = PD. 3.(a) V´ eriﬁer que X3 + X2 + 1 est un polynˆ ome annulateur de P. (b) En d´ eduire que P est inversible et d´ eterminer P −1. 4. Soit X une matrice de M3(R). On pose Y = P −1XP. (a) V´ eriﬁer que : Y 2 = P −1X2P. (b) Montrer que X v´ eriﬁe l’´ equation (∗) : X2 −4X + I = M si et seulement si Y v´ eriﬁe (∗∗) : Y 2 −4Y + I = D. 5.(a) D´ eterminer la matrice Y diagonale v´ eriﬁant l’´ equation (∗∗) et dont les coeﬃcients diagonaux sont tous inf´ erieurs ` a 2. (b) En d´ eduire une matrice X solution de l’´ equation (∗). On explicitera les neuf coeﬃcients de la matrice X. - 2 - EXERCICE 2 Partie I. Soit g la fonction d´ eﬁnie sur ]0, +∞[ par : g(x) = x2 −4 ln(x). 1. ´ Etudier le sens de variation de g, et v´ eriﬁer que g admet un minimum sur ]0, +∞[ ´ egal ` a 2(1−ln(2)). 2. En d´ eduire le signe de g(x) pour tout r´ eel x de ]0, +∞[. On consid` ere la fonction f d´ eﬁnie sur ]0, +∞[ par : f(x) = x 4 + 1 + ln(x) x . On appelle (C) la courbe repr´ esentative de f dans un rep` ere orthonorm´ e (unit´ e graphique 2 cm). 3. D´ eterminer la limite de f en 0. Interpr´ eter graphiquement le r´ esultat. 4. D´ eterminer la limite de f en +∞. 5. Montrer que la droite (D) d’´ equation y = x 4 est asymptote ` a la courbe (C). 6. ´ Etudier la position relative de (C) et de (D). On montrera en particulier que (D) coupe (C) en un point A dont on calculera les coordonn´ ees. 7. ´ Etudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f. 8.(a) V´ eriﬁer que pour tout r´ eel x de ]0, +∞[, on a : f ′′(x) = 2 ln(x) −1 x3 . (b) ´ Etudier la convexit´ e de f. La courbe (C) poss` ede-t-elle des points d’inﬂexion ? 9. On donne : 1 e ≃0,4 √e ≃1,6 f(√e) ≃1,3 f ′(√e) ≃0,1. Repr´ esenter la courbe (C) et la droite (D) dans un mˆ eme rep` ere orthonorm´ e. Partie II. 1. D´ eterminer la d´ eriv´ ee de la fonction u d´ eﬁnie sur ]0, +∞[ par : u(x) = (ln(x))2. 2. En d´ eduire que e 1 f(x)dx = e2 + 11 8 . 3. Montrer que la fonction h d´ eﬁnie sur R par : h(x) =    8 e2 + 11f(x) si x ∈[1, e] 0 sinon est une densit´ e de probabilit´ e. 4. Soit X une variable al´ eatoire admettant h comme densit´ e. (a) En utilisant une int´ egration par parties, montrer que : e 1 ln(x)dx = 1. (b) Montrer enﬁn que X admet une esp´ erance et la d´ eterminer. - 3 - Tournez la page s.v.p. EXERCICE 3 On consid` ere une urne U contenant deux boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher, ainsi qu’une urne V contenant une boule blanche et trois boules noires, elles aussi indiscernables au toucher. On eﬀectue une suite de tirages d’une boule dans ces urnes en proc´ edant comme suit : • le premier tirage a lieu dans l’urne U; • tous les tirages s’eﬀectuent avec remise de la boule pioch´ ee dans l’urne dont elle provient; • si l’on pioche une boule blanche lors d’un tirage, le tirage suivant a lieu dans l’autre urne; • si l’on pioche une boule noire lors d’un tirage, le tirage suivant a lieu dans la mˆ eme urne. Partie I - ´ Etude de l’urne du n-i` eme tirage Pour tout entier n de N∗, on note Un l’´ ev´ enement « le n-i` eme tirage s’eﬀectue dans l’urne U ». Puisque le premier tirage a lieu dans l’urne U, l’´ ev´ enement U1 est certain : P(U1) = 1. 1. Calculer P(U2). 2. Donner les valeurs de P U2 (U3) et de P U2 (U3). En d´ eduire P(U3). 3.(a) Pour tout entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, que valent P Un (Un+1) et P Un (Un+1) ? (b) En d´ eduire que pour tout entier n de N∗: P(Un+1) = 1 4 + 1 12P(Un). (c) R´ esoudre dans R l’´ equation d’inconnue α : α = 1 4 + 1 12α. (d) D´ eterminer alors la valeur de P(Un) en fonction de n. (e) Calculer lim n→+∞P(Un). Partie II - ´ Etude du nombre de boules blanches Pour tout entier naturel non nul n, on note Xn la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules blanches pioch´ ees au cours des n premiers tirages. 1. D´ eterminer la loi de X1. 2.(a) Donner les valeurs de : P[X1=0](X2 = 0), P[X1=0](X2 = 1), P[X1=1](X2 = 1) et P[X1=1](X2 = 2). (b) En d´ eduire la loi de X2. (c) V´ eriﬁer que E(X2) = 19 18. - 4 - 3. On rappelle qu’en Scilab, l’instruction grand(1,1,’uin’,1,k) renvoie un entier al´ eatoire compris entre 1 et k. Recopier et compl´ eter les lignes ` a pointill´ es du script Scilab ci-dessous aﬁn qu’il simule la variable al´ eatoire X2 : function X2=simulation () tirage1 = grand (1,1,’uin’ ,1,3) if tirage1 <3 then res1 =1 tirage2=grand (1,1,’uin’ ,1,4) if tirage2 ==1 then res2 =1 else res2 =0 end else res1 =0 tirage2= .......... if tirage2 <3 then res2= .......... else res2= .......... end end X2=res1+res2 endfunction 4. Pour tout entier n de N∗, d´ eterminer Xn(Ω). Pour tout entier n de N∗, calculer P(Xn = 0). 5. Soit n ∈N∗. Expliquer pourquoi apr` es avoir obtenu au cours des n premiers tirages un nombre pair de boules blanches, le tirage de la (n + 1)-i` eme boule s’eﬀectuera dans U. On admettra de mˆ eme qu’apr` es avoir obtenu au cours des n premiers tirages un nombre impair de boules blanches, le tirage de la (n + 1)-i` eme boule s’eﬀectuera dans V . 6. ` A l’aide de la formule des probabilit´ es totales, d´ emontrer que pour tout entier n de N∗: P(Xn+1 = 1) = 3 4 × P(Xn = 1) + 2 3 × P(Xn = 0) (R1). 7. Pour tout entier n de N∗, on pose un = 4 3 n × P(Xn = 1). D´ eduire du r´ esultat (R1), que pour tout entier n de N∗: un+1 = un + 8 9 × 4 9 n . 8.(a) Montrer par r´ ecurrence que pour tout entier n de N∗: un = 8 5 1 − 4 9 n . (b) En d´ eduire, pour tout entier n de N∗, la valeur de P(Xn = 1) en fonction de n. (c) D´ eterminer lim n→+∞P(Xn = 1). - 5 - 2018 VOIE ECONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE TECHNOLOGIQUE CORRIGÉ MATHEMATIQUES ESPRIT DE L’´ EPREUVE • V´ eriﬁer chez les candidats l’existence des bases n´ ecessaires pour des ´ etudes sup´ erieures de management. • uploads/S4/ annale-maths-ect-pre-pa-2018.pdf