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Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 Bac Equipe academique de mathématique Fonction Réciproque Bac Equipe academique de mathématique Fonction Réciproque www.TakiAcademy.com 1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com 0, 2        par : . Sousse - Nabeul - 0, 2        Bardo - S f ax 2 3 contact@takiacademy.com . www.takiacademy.com n’est pas dérivable à droite en 2 3390248 - 1 f 29862815 . c) Montrer que    1 1 sin 1 f x x    et que    1 2 1 cos ² f x x x    . d) En déduire que pour tout 1 ,1 2 x       :   1 2 1 ' 2 1 ² f x x x x     . Soit la fonction f définie sur , 2 2         par : ( ) 1 tan f x x   . 1°) Etablir le tableau de variation de f. 2°) Montrer que la fonction f réalise une bijection de , 2 2         sur IR. 3°) a) Montrer que 1 f  est dérivable sur IR. b) Calculer 1(0) f  et 1(2) f  . En déduire   1 ' 0 f  et   1 ' 2 f  . c) Montrer que pour tout x on a :    1 tan 1 f x x    . En déduire que pour tout x IR  :   ' 1 1 ² 2 2 f x x x     . EXERCICE N°1 : 25' 5 points EXERCICE N°2 : 20' 4 points Magazine 04 ANALYSE Fonctions réciproques BAC 2 +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com On considère la fonction f définie sur 0, 4        par    sin 2 f x x  On désigne par C sa courbe dans un repère orthonormé   , , O i j . 1°) Montrer que f n’est pas dérivable à droite en 0. Interpréter ce résultat graphiquement. 2°) a) Montrer que f est dérivable sur 0; 4        et calculer  ' f x pour tout 0, 4 x        . b) Dresser le tableau de variation de f puis tracer C. 3°) a) Montrer que f est bijective de 0, 4        sur   0;1 . (On notera g la fonction réciproque de f) b) Etudier la dérivabilité de g à droite en 0 et à gauche de 1 c) Montrer que g est dérivable sur   0,1 et que pour tout   0,1 x ,  4 ' 1 x g x x   . 4°) a) Montrer que pour tout * n IN  , l’équation  1 f x n  admet dans 0; 4        une unique solution n  puis calculer 1  . b) Montrer que   n  est décroissante et en déduire qu’elle est convergente vers une limite à calculer. Soit f la fonction définie par  ² 1 x f x x   . 1°) Etudier les variations de f. 2°) Soit g la restriction de f sur   1, I  . a) Montrer que g réalise une bijection de I sur I. b) Montrer que pour tout x I  :   g g x x  . c) On note 1 g la fonction réciproque de g. Que peut-on dire de 1 g . 3°) Soit la fonction définie sur 1 0,2       par :    1 1 cos 2 1 1 2 f si x x h x si x                   a) Montrer que pour tout 1 0,2 x       on a :    1 sin h x x   . b) Montrer que h réalise une bijection de 1 0,2       sur un intervalle J à préciser. c) Sur quel intervalle K, 1 h est-elle dérivable ? d) Montrer que pour tout x K  ,   1 1 ' ² 1 h x x x      . EXERCICE N°3 : 30' 6 points EXERCICE N°4 : 30' 5 points Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 www.TakiAcademy.com uploads/S4/ magazine4fonctions-reciproques-enonce.pdf