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1 BURKINA FASO --------- Unité – Progrès – Justice MINISTERE DE L’EDUCATION NAT

1 BURKINA FASO --------- Unité – Progrès – Justice MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE, DE L’ALPHABETISATION ET DE LA PROMOTION DES LANGUES NATIONALES ANNALES MATHÉMATIQUES TERMINALE C E 2 AUTEURS : Dieudonné KOURAOGO IES Victor T. BARRY IES Jean Marc TIENDREBEOGO IES Clément TRAORE IES Bakary COMPAORE IES Abdoul KABORE CPES Maquette et mise en page : OUEDRAOGO Joseph ISBN : Tous droits réservés : © Ministre de l’Éducation nationale, de l’Alphabétisation Et de la Promotion des Langues nationales Edition : Direction générale de la Recherche en Éducation et de l’Innovation pédagogique 3 4 AVANT-PROPOS La présente annale destinée à la classe de terminale C/E a pour but d’aider le professeur dans son enseignement et le candidat au baccalauréat C ou E de se préparer à l’épreuve de mathématiques. Cette annale comporte trois parties : Première partie : résumé du cours par chapitre ; Deuxième partie : énoncés des épreuves du baccalauréat C/E ; Troisième partie : propositions de corrigés des épreuves. Les candidats ne tireront profit qu’en résolvant et trouvant par eux-mêmes les solutions sans avoir recours aux corrigés. Les corrigés sont pour confirmer leurs justes réponses ou donner d’autres pistes de résolution qui ne sont peut-être pas les leurs. Le succès résulte de l’effort et de la méthode. Nous vous souhaitons du plaisir dans vos activités mathématiques et attendons vos critiques et suggestions pour des améliorations futures d’autres œuvres. Les auteurs 5 6 RAPPEL DE COURS 7 Chapitre : ARITHMETIQUE Propriétés dans IN 1) Toute partie non vide de IN admet un plus petit élément. 2) Toute partie non vide et majorée de IN admet un plus grand élément. 3) Propriété d’Archimède : pour tout entier naturel a et tout entier naturel non nul b, il existe un entier n tel que nb>a 4) Axiome de récurrence "Pour démontrer par récurrence qu'une propriété est vraie pour tout entier n≥ n0, il suffit de montrer que : a) la propriété est vraie pour n = n0 ; b) la propriété pour un entier quelconque n implique la propriété pour l'entier suivant n+1." Division euclidienne 1) Dans IN : pour a∈IN et b∈N*, il existe un unique couple (q,r) de IN×IN tel que : a= bq +r et 0 ≤ r < b 2) Dans Z : pour a ∈ Z et b ∈ Z*, il existe un unique couple (q,r) de Z×Z tel que a= bq + r avec 0 ≤ r < |b| Multiples et diviseurs Soit a et b éléments de Z Définitions - On dit que a est un multiple de b si et seulement s’il existe un entier k tel que a= kb - Si b ≠ 0, on dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a, si et seulement si a est un multiple de b Notation : l’ensemble des multiples de a se note az Propriétés : az ⊂ bz ⟺ a est multiple de b Congruence modulo n (n є IN*) Définition : x et y étant deux entiers, on dit que x est congru à y modulo n et on note x ≡ y [n] si et seulement si x – y ∈ nZ Propriété : x ≡ y [ n ] si et seulement si x et y ont le même reste dans le division euclidienne par n Compatibilité avec les opérations Si x ≡ x´[n] et y ≡ y´[n] alors x+ y ≡ x´+ y´ [n] et xy ≡ x´y´ [n ] et x´ᵏ ≡ x’ᵏ [n] (k Є N*) 8 Caractères de divisibilité PPCM a et b éléments de IN* Théorème- définition : PPCM (a,b) = le plus petit élément strictement positif de aZ ∩ bZ Théorème L’ensemble des multiples communs à deux nombres est l’ensemble des multiples de leur PPCM, c’est-à-dire : lorsque PPCM (a,b)= µ on a az∩bz = µZ Propriété : Soit k Є IN*, PPCM(ka,kb) = kPPCM(a,b) Remarque : si a et b sont éléments de Z*, alors PPCM (a,b) =PPCM (||, ||) PGCD On note Dn l’ensemble des diviseurs d’un entier n. Pour la suite, a et b sont éléments de IN*. Définition : PGCD (a,b) = le plus grand élément de Da ∩ Db Théorème : L’ensemble des diviseurs communs à deux nombres est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD. C’est-à-dire lorsque PGCD (a,b) = δ, on a 1) Da ∩ Db = Dδ ou encore 2) Pour tout d Є Z*d/a et d/b ⟺ d/δ Propriétés : • (P1) pour k Є IN*, PGCD(ka, kb) = kPGCD(a,b) • (P2) supposons : a > b, PGCD (a,b) = PGCD( • (P3) supposons : a > b, Si a = bq + r avec 0 ≤ r < b alors PGCD(a,b) = PGCD(b,r) Recherche pratique du PGCD : • À l’aide de la propriété (P2) • À l’aide de la propriété (P3) (algorithme d’Euclide) 9 Nombres premiers entre eux a et b éléments de IN* Définition : a et b sont dits premiers entre eux si et seulement si PGCD(a,b)= 1 Théorème de Bezout PGCD(a,b)= 1 si et seulement s’il existe (u,v) Є Z×Z tel que ua+vb= 1 Théorème de Gauss Si un nombre divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un des facteurs alors il divise l’autre. Si ( a/bc et PGCD (a,b) = 1 alors a/c) Propriétés • (P1) si un entier n est divisible par deux entiers a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit ab. Si PGCD (a,b) = 1 et a/n et b/n alors ab/n • (P2) si un entier a est premier avec deux entiers b et c, il est premier avec leur produit bc Si PGCD (a,b) = 1 et PGCD(a,b) = 1 alors PGCD(a,bc) = 1 Relation entre PGCD et PPCM PGCD(a,b)×PPCM(a,b) = ab Nombres premiers Définition - dans IN : soit a Є IN\{ 0 ;1 } ; a est premier si et seulement si Da={ 1 ;a } - dans Z : soit a Є Z\{ -1 ;0 ;1 } ; a est premier si et seulement si Da= { -1 ;1 ;a ;-a } Remarque : Dans toute la suite on se placera dans IN Théorèmes • (T1) tout entier naturel a strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier • (T2) tout entier a non premier et strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier p tel que p² ≤ a • (T3) l’ensemble des nombres premiers est infini Méthodes de recherches - Rechercher les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n - Déterminer si un nombre donné est premier 10 En utilisant le crible d’Erathosthène dont le principe repose sur : « si aucun nombre premier n tel que 2 ≤ n ≤ √ ne divise a, alors a est premier » Nombres premiers et divisibilité • Tout nombre premier est premier avec tout entier qu’il ne divise pas • Tout nombre premier divisant un produit d’entiers divise l’un au moins des facteurs du produit • Si un nombre premier divise un produit de nombres premiers, alors il est égal à l’un des facteurs du produit Décomposition en un produit de facteurs de produits • Tout entier naturel non premier et strictement supérieur à 1 peut s’écrire de manière unique en un produit de facteurs premiers 11 Chapitre : CALCUL VECTORIEL Relation de Leibniz Soit M un point quelconque de E ; E étant le plan ou l’espace. Réduction de la somme 2 i 1 MA i n i i α = = ∑ . 1er cas : 1 0 i n i i α = = ≠ ∑ Soit G le barycentre du système des points {Ai(αi) } avec i allant de 1 à n ; on a : 2 i 1 MA i n i i α = = ∑ = 2 i 1 GA i n i i α = = ∑ + ( 1 i n i i α = = ∑ )MG2. 2ème cas : 1 i n i i α = = ∑ =0 ; dans ce cas 2 i 1 MA i n i i α = = ∑ = 2 i 1 OA i n i i α = = ∑ -2OM uuuu r .V r où O est un point fixé quelconque et V r = i 1 OA i n i i α = = ∑ uuuu r . Produit vectoriel Définition1 : Si A, B et C sont 3 points non alignés de l’espace orienté, le produit scalaire de AB uuu r par AC uuu r dans cet ordre, noté AB AC ∧ uuu r uuu r est le vecteur AD uuu r défini par : a) la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) ; b) le repère ( A, AB uuu r , AC uuu r , AD uuu r ) est direct ; c) la longueur AD est égale à AB.AC.sinθ (θ mesure en radian de l’angle géométrique ( ) Définition2 : si A, B et C sot uploads/S4/ annales-maths-tle-c.pdf