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PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES Mathématiques Olympique Prépar

PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES Mathématiques Olympique Préparation POFM TEST DU 1ER AVRIL 2020 DURÉE : 4H Instructions ▷Rédigez les différents problèmes sur des copies distinctes. Sur chaque copie, écrivez en haut à gauche votre nom en majuscules, votre prénom en minuscules. Écrivez votre classe et le numéro du problème traité en haut à droite. ▷Le groupe Junior est constitué des élèves nés en 2005 ou après. Ces élèves doivent traiter les exercices 1 à 4. ▷Le groupe Senior est constitué des élèves nés en 2004 ou avant. Ces élèves doivent traiter les exercices 5 à 7. ▷On demande des solutions complètement rédigées, où toute afﬁrmation est soigneu- sement justiﬁée. La notation tiendra compte de la clarté et de la précision de la copie. Travaillez d’abord au brouillon, et rédigez ensuite au propre votre solution, ou une tentative, rédigée, de solution contenant des résultats signiﬁcatifs pour le problème. Ne rendez pas vos brouillons : ils ne seraient pas pris en compte. ▷Une solution complète rapportera plus de points que plusieurs tentatives inachevées. Il vaut mieux terminer un petit nombre de problèmes que de tous les aborder. ▷Règles, équerres et compas sont autorisés. Les rapporteurs sont interdits. Les calculatrices sont interdites, ainsi que tous les instruments électroniques. ▷Dans le cas d’un exercice de géométrie, faire une (voire plusieurs) ﬁgure sur une feuille blanche séparée. Cette ﬁgure devra être propre, grande, et la propriété que l’on cherche à démontrer devra être apparente : par exemple, s’il faut démontrer que des points sont alignés (ou cocycliques), il faut tracer la droite (ou le cercle) qui passe par ces points. ▷Le respect de la consigne précédente rapportera automatiquement un point. Si elle n’est pas respectée, la copie ne sera pas corrigée. Chaque exercice est noté sur 7 points. Après l’épreuve, merci de renvoyer les copies par voie électronique à l’adresse suivante : copies.ofm@gmail.com 1 Exercices Junior Exercice 1. Soit a1, a2, . . . la suite d’entiers telle que a1 = 1 et, pour tout entier n ⩾1, an+1 = a2 n + an + 1. Démontrer, pour tout entier n ⩾1, que a2 n + 1 divise a2 n+1 + 1. Solution de l’exercice 1 Pour tout entier n ⩾1, posons bn = a2 n + 1. On conclut en constatant directement que bn+1 ≡(a2 n + an + 1)2 + 1 ≡(bn + an)2 + 1 ≡a2 n + 1 ≡bn ≡0 (mod bn). Solution alternative n◦1 Il sufﬁt de constater, pour tout entier n ⩾1, que a2 n+1 + 1 = (a2 n + an + 1)2 + 1 = a4 n + 2a3 n + 3a2 n + 2an + 2 = a2 n(a2 n + 1) + 2a3 n + 2a2 n + 2an + 2 = a2 n(a2 n + 1) + 2an(a2 n + 1) + 2a2 n + 2 = a2 n(a2 n + 1) + 2an(a2 n + 1) + 2(a2 n + 1) = (a2 n + 2an + 2)(a2 n + 1) est effectivement un multiple de a2 n + 1. Commentaire des correcteurs L’exercice a été bien résolu. Certains ont tenté une récurrence, sans grand succès, car il était difﬁcile d’obtenir le résultat par récurrence. Peu de copies ont travaillé modulo a2 n + 1, ce qui simpliﬁait pourtant grandement les calculs. 2 Exercice 2. On répartit les entiers de 1, 2, . . . , 8 en deux ensembles A et B, puis on note PA le produit de tous les éléments de A et PB le produit de tous les éléments de B. Quelles sont les valeurs minimale et maximale que peut prendre la somme PA + PB ? Note : si un ensemble E est vide, on considérera que le produit de ses éléments est égal à 1. Solution de l’exercice 2 Soit A et B deux ensembles disjoints dont la réunion est égale à l’en- semble E = {1, . . . , 8}. Tâchons tout d’abord de maximiser la somme PA + PB. Sans perte de généralité, on peut supposer que PA ⩽PB. Puis, si A contient un entier k ⩾2, on pose A′ = A \ {k} et B′ = B ∪{k}. Alors PA′ + PB′ ⩾PB′ = kPB ⩾2PB ⩾PA + PB. Ainsi, lorsque la somme PA + PB atteint sa valeur maximale, on sait que A ⊆{1}, donc que PA = 1 et que PB = 8!, de sorte que PA + PB = 8! + 1 = 40321. Tâchons maintenant de minimiser la somme PA + PB. L’inégalité arithmético-géométrique indique que PA + PB ⩾2c, où l’on a posé c = √PAPB = √ 8!. Comme 4012 = 160801 < 161280 = 4c2, on sait que 2c > 401, et donc que PA + PB ⩾⌈2c⌉⩾402. Un premier réﬂexe est donc de rechercher deux ensembles A et B tels que PA+PB = 402. On formule alors quelques remarques préliminaires à cette recherche. Tout d’abord, savoir quel ensemble contient l’entier 1 ne change rien. Puis on démontre que l’un des deux ensembles contient l’entier 6 et que l’autre contient les entiers 2 et 3. En effet, soit X l’ensemble qui contient 6 et Y celui qui ne contient pas 6 : ▷puisque PY ≡402 −PX ≡0 (mod 6), c’est que Y contient l’entier 3 ainsi qu’un entier pair; ▷si c’est X qui contient l’entier 2, alors PY ≡402 −PX ≡2 (mod 4), donc X contient un entier pair mais pas divisible par 4, ce qui est impossible. Quitte à supprimer les entiers 1, 2, 3 et 6 des ensembles A et B, on se ramène donc à trouver une partition de l’ensemble ˆ E = {4, 5, 7, 8} en deux sous-ensembles ˆ A et ˆ B tels que P ˆ A + P ˆ B = 402/6 = 67. Supposons, sans perte de généralité, que ˆ A contient l’entier 4. Alors P ˆ B ≡67−P ˆ A ≡1 (mod 2), donc ˆ A contient aussi l’entier 8. En outre, si ˆ A contient également l’un des deux entiers 5 ou 7, alors P ˆ A + P ˆ B ⩾P ˆ A ⩾4 × 5 × 8 ⩾160 > 67. On a donc nécessairement ˆ A = {4, 8} et ˆ B = {5, 7}, et on est tout heureux de vériﬁer que, dans ce cas, on a effectivement P ˆ A + P ˆ B = 32 + 35 = 67. En conclusion, la valeur maximale de PA + PB est égale à P∅+ PE = 8! + 1 = 40321, et la valeur minimale de PA + PB est égale à P{2,3,5,7} + P{1,4,6,8} = 402. Solution alternative n◦1 Soit A et B deux ensembles disjoints dont la réunion est égale à l’ensemble E = {1, . . . , 8}, et soit c = √ 8!. Sans perte de généralité, on peut supposer que PA ⩽PB ; puisque PA × PB = PE = c2, cela signiﬁe que PA ⩽c. Mais alors PA +PB = f(PA), où l’on a posé f(x) = x+c2/x, et il nous reste donc à trouver les valeurs minimale et maximale que peut prendre f(PA). On étudie donc le sens de variation de f : si x ⩽y ⩽c, alors f(y) −f(x) = y2 + c2 y −x2 + c2 x = (c2 −xy)(x −y) xy ⩽0. La fonction f est donc décroissante sur l’intervalle (0, c] et, par conséquent : ▷aﬁn de maximiser f(PA), il sufﬁt de minimiser PA, c’est-à-dire de choisir A vide, ou encore PA = 1; 3 ▷aﬁn de minimiser f(PA), il sufﬁt de maximiser PA, sachant que PA est un produit d’élé- ments de E et que PA ⩽c. Il nous faut donc calculer la valeur de l’entier ⌊c⌋. Puisque c2 = 8! = 40320 et que 2002 = 40000 < 40320 < 40401 = 2012, c’est donc que ⌊c⌋= 200. On étudie donc les entiers 200, 199, 198, . . . jusqu’à tomber sur un entier n que l’on pourra écrire comme un produit d’éléments de E. Au lieu de procéder brutalement, on peut formuler deux remarques préalables : ▷de manière générale, n doit diviser 8! = 27 × 32 × 5 × 7; ▷en outre, si n est impair, alors n divise même 3 × 5 × 7 = 105, donc n ⩽105. On déduit de la première remarque que n ne peut prendre aucune des valeurs 200 = 23 × 52, 198 = 11 × 18, 196 = 4 × 72, 194 = 2 × 97, de sorte que n = 192 = 4 × 6 × 8 est en fait l’entier recherché. Par conséquent, la valeur maximale de PA + PB est égale à f(1) = 8! + 1 = 40321, et la valeur minimale de PA + PB est égale à f(192) = 192 + 210 = 402. Commentaire des correcteurs L’exercice a été résolu de façon très hétérogène. Beaucoup d’élèves ont trouvé la valeur du maximum, mais peu ont fourni une bonne justiﬁcation de sa uploads/S4/ corrige-web 1 .pdf