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Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie

Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie de Créteil 2011 61 CRYPTOGRAPHIE : des activités adaptables de la 6e à la 3e Jean-Baptiste MAYENSON Professeur au collège Roger Martin du Gard Épinay-sur-Seine Christelle SERRA Professeure au collège Liberté Chevilly Larue Niveau concerné Sixième, quatrième et troisième Modalité – En sixième, tout ce qui est présenté a été abordé dans l’ordre annoncé. Le travail même des élèves en classe ou à la maison dépend des activités. Les activités peuvent cependant se traiter séparément, sans lien effectif entre elles. Ces séances ont été menées, en sixième, dans le cadre d’un projet d’écriture de conte mathématique, lien interdisciplinaire mathématiques-français réalisé tout le long de l’année scolaire. Les élèves bénéficiaient donc pour cela d’une heure supplémentaire de mathématiques (et de français) inscrite dans leur emploi du temps. – En quatrième, de même qu’en sixième, les activités ont été abordées dans l’ordre annoncé. Elles ont été traitées en classe entière, sur trois fins de séances successives de 10/15 minutes, puis sur deux heures en salle informatique en alternant l’utilisation individuelle des ordinateurs. La mise en commun et la synthèse ont nécessité une séance supplémentaire. – En troisième, les activités ont été testées sur quatre séances en classe entière en salle informatique (deux fois deux heures) avec une utilisation alternée des ordinateurs. Pré-requis – Activités sixième : aucun pré-requis mathématique important n’est nécessaire. La compréhension de consignes est le principal pré-requis. Toutefois, avant de lancer les activités présentées, la notion de cryptographie a été rapidement présentée à la classe pour qu’il n’y ait pas d’ambiguïté sur ce que l’on entend par texte codé et texte clair. – Activités quatrième : compréhension de consignes, notions de statistique de cinquième. – Activités troisième : compréhension de consignes, notion de fonction (TP1), fonction affine et arithmétique (TP2) Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie de Créteil 2011 62 Objectifs Ces activités permettent de travailler certaines méthodes de cryptographie (compréhension par les élèves des procédures à utiliser) et sont adaptables à différents niveaux du collège, selon les objectifs que l’on veut se fixer. En 6e, ces activités sont un support pertinent pour la compréhension des consignes à travers l'appropriation des méthodes de cryptage. Elles abordent les connaissances et compétences mathématiques suivantes : lire, utiliser et interpréter des données à partir de tableaux ou de représentations graphiques. Elles obligent enfin les élèves à s’organiser dans la gestion des données qui sont à leur disposition. Le prolongement sur tableur en 4e peut être traité indépendamment des autres méthodes de cryptographie. Ces activités permettent d’asseoir les acquis de 5e, d’utiliser le tableur, de présenter une démarche statistique et d’étudier la limite de la méthode par analyse de fréquence. Le prolongement en 3e sur le chiffrement linéaire permet de s’initier au raisonnement algorithmique, de revoir les notions de fonction et fonction affine, ainsi que d’utiliser le tableur à bon escient. Ces activités sont aussi développées en lycée. Interdisciplinarité Ces activités sont un prétexte intéressant pour faire un lien avec le français : reprise de textes étudiés en cours de français (travail interdisciplinaire avec la collègue de lettres) et notamment pour travailler autour de littérature et mathématique avec des textes évoquant les mathématiques (voir les exemples donnés dans la fiche professeur). En effet, l’extrait de Marius de Marcel Pagnol (document 1) est particulièrement riche lorsque l’on travaille sur les fractions (partie importante du programme pour la classe de sixième) ; il permet également, de façon générale, de montrer la différence entre l’usage rigoureux d’un outil et son usage « sauvage » dans la vie de tous les jours. Dans le document 2, le poème de « géométrie » est extrait du recueil d’Eugène Guillevic. Il constitue une manière originale d’aborder cette partie des mathématiques. Il peut être complété avec d’autres poèmes : la discussion évoque alors la compatibilité avec les définitions apprises en géométrie. On peut aussi espérer que les élèves s’approprient mieux les notions, grâce au jeu et à la création. Dans le document 3, la chanson de Boris Vian est un exemple permettant de travailler, tout en « s’amusant », sur la polysémie des mots» et on sait à quel point, en classe de sixième, il est nécessaire de s’y attarder. En quatrième le thème sur la poésie, a été choisi avec les professeurs de français. Les poèmes utilisés pour l’étude des fréquences d’apparitions des voyelles ont été étudiés en cours. Dans l’une des deux classes, cette étude a permis de préparer un travail en français sur les contraintes d’écriture. Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie de Créteil 2011 63 CRYPTOGRAPHIE – Fiche professeur Durée : 6 séances Classe de 6e Situation Code de César : coder et décoder un texte à partir de la méthode décrite. Variante du code de César : décoder un texte à partir d'un diagramme en bâtons qui indique la fréquence d'apparition de chaque lettre dans le texte clair. Carré de Polybe : coder un texte grâce aux coordonnées des lettres lisibles dans tableau double- entrée. Substitution mono-alphabétique : décoder un texte à partir d'un diagramme en bâtons qui indique la fréquence d'apparition de chaque lettre dans le texte clair. Supports et ressources de travail (fournis pages suivantes) Document 1 : principe de la méthode, extrait du poème « C'est les Mathématiques » de Tom Lehrer à décoder et extrait de la pièce de théâtre « Marius »de Marcel Pagnol (acte 2) à décoder. Document 2 : principe de la méthode, poème extrait des « Euclidiennes » de Eugène Guillvec à décoder et diagramme en bâtons qui indique le nombre de fois où apparaît chaque lettre dans le texte clair. Document 3 : principe de la méthode (un tableau double entrée) et chanson « Racine Carrée » de Boris Vian à coder. Document 4 : extrait des « Contes » de Charles Perrault à décoder grâce à un diagramme. Compétences Pratiquer une démarche scientifique ou technologique Capacités susceptibles d’être évaluées en situation Exemples d’indicateurs de réussite Rechercher, extraire et organiser l’information utile Extraire d’un document papier les informations utiles Organiser les informations pour les utiliser Entreprendre le comptage de chaque lettre Présenter les nombres d’apparition pour les comparer Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Suivre un protocole Compter chaque lettre sans oubli Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer Proposer une procédure Mettre en œuvre une stratégie pour associer les lettres du texte codé à celles du texte clair Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté Rendre compte de la démarche de résolution Expliquer les choix pour remplacer les lettres. Reconstituer les textes sans erreur Savoir utiliser des connaissances et compétences mathématiques Capacités susceptibles d’être évaluées en situation Exemples d’indicateurs de réussite Organisation et gestion de données Lire des données présentées sous forme de graphiques Reconnaître que le nombre d’apparition de chaque lettre du texte codé est lié au nombre d’apparition des lettres du graphique (texte clair) Niveaux Connaissances Capacités 6e Représentations usuelles des données Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique simple Organiser des données en choisissant un mode de représentation adapté : tableau à deux ou plusieurs colonnes Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie de Créteil 2011 64 CRYPTOGRAPHIE – Fiche élève Durée : 6 séances Classe de 6e Document 1 Principe de la méthode du code de César Le texte codé s’obtient en remplaçant chaque lettre du texte clair par la lettre qui est située trois rangs plus loin dans l’alphabet. La longueur du décalage constitue la clé du chiffrement Extrait du poème « C’est les Mathématiques », de Tom Lehrer Compter les moutons Quand tu essayes de dormir, Etre juste Quand il y a quelque chose à partager, Etre soigneux Quand tu plies une feuille, C’est les mathématiques ! Quand une balle Rebondit contre un mur, Quand tu cuisines Avec un livre de recettes, Quand tu sais Combien d’argent tu dois, C’est les mathématiques ! Quelle quantité d’or tient dans l’oreille d’un éléphant ? A midi sur la lune, quelle heure est-il sur terre ? Si tu pouvais compter pendant toute une année, arriverais-tu à l’infini, Ou quelque part, dans les environs ? Quand tu décides Combien de timbres utiliser, Quand tu sais Quelles sont les chances qu’il neige, Quand tu paries Et finis par t’endetter, Oh tu peux toujours essayer, Tu ne pourras jamais échapper Aux mathématiques ! […] En choisissant une clé de 3, coder le poème ci-dessus et expliquer la méthode. Démarche d’investigation en mathématiques au collège – Socle commun – Académie de Créteil 2011 65 Extrait de la pièce de théâtre « Marius », de Marcel Pagnol (acte II) FHVDU HK ELHQ, SRXU OD GLALHPH IRLV,MH YDLVWH O’HASOLTXHU, OH SLFRQ- FLWURQFXUDC¸ DR. DSSURFKH-WRL ! WX PHWV G’DERUG XQ WLHUV GH FXUDC¸DR. IDLV DWWHQWLRQ : XQ WRXW SHWLW WLHUV. ERQ. PDLQWHQDQW, XQ WLHUV GH FLWURQ. XQ SHX SOXV JURV. ERQ. HQVXLWH, XQ ERQ WLHUV GH SLFRQ. UHJDUGH OD FRXOHXU. UHJDUGH uploads/S4/ c4-info-crypto-prep.pdf