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Sousse - Nabeul - Bardo - Sfax contact@takiacademy.com www.takiacademy.com 23390248 - 29862815 Magazine de Mathématique Intégrales Enoncé Niveau Bac Niveau Bac www.TakiAcademy.com Magazine de Mathématique Intégrales Enoncé 1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com 1°) Soit la fonction définie sur S o u s s e - Nabeul - Bardo - S f a x b) Montrer que c ontact@takiacademy.com et que pour tout www.takiacademy.com   1 1 1 ² g x x    23390248 - 29862815  n I la suite définie sur * IN par : 1 2 0 1 n n x I dx x    . a) Montrer que la suite  n I est décroissante. En déduire qu’elle est convergente. b) Montrer que pour tout * n IN  , 1 0 1 n I n    . Déterminer alors la limite de  n I . c) Montrer que pour tout * n IN  , 2 1 1 n n I I n    . 3°) a) Vérifier que pour tout réel x, 2 2 1 1 1 ² 1 x x x     . Calculer alors 2 4 et I I . b) Soit f la fonction définie par 4 2 2 2 3 ( ) 1 x x f x x     . Déterminer la valeur moyenne de f sur   0,1 . On considère les suites  n I et définie sur * IN par :   1 2 0 1 n n I t dt    et   1 2 2 0 1 n n J t t dt    . 1°) Calculer 1 I 2°) a) Montrer que pour tout 0 1 t  on a : 2 1 0 t   . b) Montrer que pour tout * n IN  , 1 n n n I I J   . c) Montrer que la suite  n I est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente. 3°) a) Déterminer une primitive de la fonction   2 1 n t t t  . b) En déduire , à l’aide d’une intégration par partie, que   1 1 2 1 n n J I n    . c) Montrer alors que pour tout * n IN  :   1 2 1 2 3 n n n I I n     . d) La courbe C ci-contre est la représentation graphique de la fonction f définie sur   0,1 par :    2 2 2 1 1 f t t    Calculer le volume V du solide de révolution engendre par la rotation de C autour de l’axe d’abscisses. EXERCICE N°1 : 10' 2 ,5 points EXERCICE N°2 : 25' 4 points Magazine 05 ANALYSE Intégrales BAC 2 +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Soit la fonction définie sur IR par :  2 1 1 x f x x    . On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé( , , ) O i j . 1°) Montrer que   0,1 I est un centre de symétrie pour C. 2°) a) Montrer que pour tout réel x ,    3 2 1 ' 1 f x x   . b) Donner une équation cartésienne de la tangente à Cd’abscisse 0. 3°) Dans le graphique de la feuille annexe, on a représenté la courbe C et la droite : y x   . La droite  coupe C en un point d’abscisse . a) Vérifier que ² 1 1       . b) En déduire que  0 ² 1 1 f x dx          . 4°) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J à préciser. b) On note 1 f  la fonction réciproque de f. On désigne par C' la courbe représentative de 1 f  dans un repère orthonormé( , , ) O i j . Tracer la courbe C' dans le même repère. 5°) On pose  1 1 I f x dx     . a) Que représente graphiquement le nombre I? b) Calculer, Ien fonction de . EXERCICE N°3 : 35' 6 points uploads/S4/ magazine5integrales-enonce.pdf