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Chapitre 7 Courbes paramétrées Objectifs – Déﬁnition d’une courbe paramétrée et

Chapitre 7 Courbes paramétrées Objectifs – Déﬁnition d’une courbe paramétrée et du vocabulaire qui s’y rattache. Lien avec la cinématique. – Plan d’étude d’une courbe paramétrée. Étude locale au voisinage d’un point. Étude des branches inﬁnies. – Déﬁnition et étude des courbes polaires. – Étude des coniques. Sommaire I) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1) Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2) Déﬁnition d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II) Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Branches inﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III) Courbes paramétrées en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2) Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3) Plan d’étude d’une courbe polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 IV) Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1) Déﬁnition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2) Le cas de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3) Le cas de l’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4) Le cas de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5) Déﬁnition bifocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6) Déﬁnition algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 P désigne un plan afﬁne muni d’un repère [éventuellement orthonormé direct] R = (O,− → ı ,− → ), on note − → P = {a− → ı +b− → / a,b ∈R} l’ensemble des vecteurs du plan. Dans tout le chapitre I désigne un intervalle de R (non vide et non réduit à un point). MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Généralités Chapitre 7 : Courbes paramétrées I) Généralités 1) Fonctions vectorielles ▲Déﬁnition 7.1 Une fonction vectorielle est une fonction − → f : I → − → P t 7→ − → f (t) . Pour t ∈R on note (x(t), y(t)) les coordonnées de − → f (t) dans la base (− → ı ,− → ), on a donc − → f (t) = x(t)− → ı + y(t)− → . On remarquera que x et y sont deux fonctions de I dans R. O x(t) y(t) − → f (t) − → ı − →  Le repère étant choisi, se donner une fonction vectorielle revient à se donner deux fonctions réelles. ▲Déﬁnition 7.2 Soit − → f : I →− → P une fonction vectorielle, soit − → ℓ∈− → P et soit t0 un élément de I (ou une borne de I), on dit que − → f admet pour limite le vecteur − → ℓen t0 lorsque lim t→t0 ∥− → f (t)−− → ℓ∥= 0. Notation : lim t→t0 − → f (t) = − → ℓou − → f (t) − → t→t0 − → ℓ. − → f (t) y(t) x(t) a − → ℓ − → f (t)−− → ℓ O − →  b − → ı ▶ THÉORÈME 7.1 Si − → f (t) = x(t)− → ı + y(t)− → et si − → ℓ= a− → ı +b− → alors : lim t→t0 − → f (t) = − → ℓ⇐ ⇒      x(t) − → t→t0 a y(t) − → t→t0 b . ▲Déﬁnition 7.3 Soit − → f : I →− → P une fonction vectorielle et t0 un élément de I, on dit que − → f est continue en t0 lorsque lim t→t0 − → f (t) = − → f (t0). Si − → f (t) = x(t)− → ı + y(t)− → alors il découle du théorème précédent que − → f est continue en t0 ssi les fonctions x et y sont continues en t0. ▲Déﬁnition 7.4 Soit − → f : I →− → P une fonction vectorielle et t0 un élément de I, on dit que − → f est dérivable en t0 lorsqu’il existe un vecteur − → ℓtel que lim t→t0 1 t −t0 [− → f (t)−− → f (t0)] = − → ℓ, auquel cas on écrit − → f ′(t0) = − → ℓ. Si − → f (t) = x(t)− → ı + y(t)− → alors il découle du théorème précédent que − → f est dérivable en t0 ssi les fonctions x et y sont dérivables en t0 auquel cas on a − → f ′(t0) = x′(t0)− → ı + y′(t0)− → . MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 2 Étude locale en un point Chapitre 7 : Courbes paramétrées ▶ THÉORÈME 7.2 Soient − → f et − → g deux fonctions vectorielles dérivables sur I, on a : – [− → f ·− → g ]′ = − → f ′ ·− → g +− → f ·− → g ′. – [det(− → f ,− → g )]′ = det(− → f ′,− → g )+det(− → f ,− → g ′). – Si − → f ne s’annule pas, ∥− → f ∥′ = − → f ′ ·− → f ∥− → f ∥ . ▲Déﬁnition 7.5 Une fonction vectorielle − uploads/S4/ chap-07.pdf