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EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN par :

EXERCICE N : 1 ( 4.5 points ) On considère la suite ( Un ) définie sur IN par : U0 = 1 et Un+1 = n 2+U . 1 ) Montrer que pour tout n  IN on a : 0 < Un < 2 . 2 ) a ) Montrer que pour tout n  IN : n+1 n 2 - U 2 - U = n 1 2 + 2 + U . b ) Déduire que pour tout n  IN : 2 - Un+1  1 2 ( 2 - Un ) . c ) Prouver alors que pour tout n  IN : 0 < 2 - Un  ( 1 2 ) n . d ) Déterminer  n + lim Un . 3 ) a ) Montrer par récurrence que pour tout n  IN on a : Un = 2 cos ( n π 3.2 ) . b ) Retrouver  n + lim Un . EXERCICE N : 2 ( 6 points ) Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct ( O ,u , v ). On désigne par A( i ) , B ( 2 i - 1 ) et C ( 1 + 2 i ) . Soit f : P \  A  P ; M Z M’Z ’ avec : Z ’ = i Z Z - i . 1 ) Déterminer les points invariants par f . 2 ) a ) Déterminer l’ensemble ( ) des points M tels que │Z ’│= 1 . b ) Déterminer l’ensemble ( ) des points M tels que Z ’ est réel . 3 ) a ) Ecrire sous forme trigonométrique les nombre complexes ZB - ZA et ZC - ZA . 4 ) a ) Vérifier que pour tout Z i on a : ( Z ’ - i ) ( Z - i ) = - 1 . b ) Déduire que pour tout M , distinct de A , on a : AM . AM’ = 1 et    , , (u AM)+(u AM') π ( 2π ) . c ) Montrer que si M appartient au cercle ( C ) de centre A et de rayon 1 alors M’appartient à ( C ) d ) Montrer que si M appartient à [AB) privée de A alors M’ appartient à [AC) . - 1 - Lycée Houmet Souk Prof : Loukil Mohamed Devoir de Contrôle N : 2 Durée : 2 Heures 3 Mathématique 2 24 - 02 - 2016 EXERCICE N : 3 ( 9.5 points ) Soit f m la fonction définie sur IR par : fm ( x ) = m x 4 - 2 x 3 + ( 3 - 2 m ) x 2 + m où m paramètre réel . On désigne par ( Cm ) la courbe représentative de f m dans un repère orthonormé R ( O , i , j ) . A ) Montrer que toutes les courbes ( C m ) passent par deux points fixes A et B dont on précisera les coordonnées . B ) 1 ) Dresser le tableau de variations de f1 . 2 ) Soit l'équation : ( E a ) x 4 - 2 x 3 + x 2 = a où a est un paramètre réel . En utilisant le tableau de variations de f1 , déterminer les valeurs de a pour que ( E a ) admet exactement quatre solutions . 3 ) Montrer que la droite : x = 1 2 est un axe de symétrie de ( C1 ) . C ) Dans toute la suite on prend : m = 0 , on note : f0 par f et ( C0 ) par ( C f ) 1 ) Dresser le tableau de variations de f . 2 ) a ) Montrer que le point I ( 1 2 , 1 2 ) est un point d'inflexion pour ( C f ) . b ) Donner une équation cartésienne de la tangente ( T ) à ( C f ) au point I . c ) Résoudre dans IR l'équation : f ( x ) = 0 d ) Tracer ( T ) et ( C f ) dans le repère R . 3 ) Soit  D la droite d’ équation : y =x où  est un paramètre réel . a ) Déterminer , suivant les valeurs de  , le nombre de point(s) d’intersection de  D et ( C f ) . b ) Lorsque (  D ) coupe ( C f ) en deux points distincts M’ et M’’ autres que l'origine O du repère R , prouver que : OM' .OM'' =  2 (1+ ) 2 . c ) Déduire les valeurs de  pour que le point O  [ M'M''] . 4 ) Soit la fonction g définie sur IR par : g ( x ) = 2|x|3 - 3 x 2 . a ) Etudier la parité de g . b ) Tracer ( C g ) à partir de ( C f ) , expliquer . - 2 - uploads/S4/ devoir-de-controle-n02-math-3eme-mathematiques-2015-2016-mr-loukil-mohamed.pdf