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La clothoïde est une courbe dont la courbure C est proportionnelle à l’abscisse

La clothoïde est une courbe dont la courbure C est proportionnelle à l’abscisse curviligne s. En construction routière, on à l’habitude de définir le paramètre A de la clothoïde de longueur L dont la courbure varie de 0 à 1/R de la manière suivante : L.R = A2 Ce qui donne lieu à l’expression suivante : C(s) = s / A2 Dont le graphe est du type suivant : Considérons maintenant un véhicule dont la trajectoire est parfaitement circulaire. La trajectoire circulaire du véhicule d'entraxe E, braquant ses roues d'un angle représentée ci-dessous a pour rayon : R = E/sin La courbure C de la trajectoire vaut donc : C = (1/E).sin Partant de là, il est légitime de supposer que pour une courbe quelconque :  si l’on considère le mouvement entre t et t+dt,  la portion de trajectoire décrite dans cet intervalle a une longueur ds  pour laquelle la courbure C(s) peut être considérée comme constante. C(s) s Ainsi on peut exprimer la courbure en fonction de l’abscisse curviligne ou du temps : C(s) = sin(s) / E Ou encore : C(t) = sin(t) / E La vitesse V du véhicule est constante et telle que : s = V.t La vitesse de braquage  est constante et telle que :  = .t Donc        V .s sin E 1 C(s)  ou   t . sin E 1 C(t)   Donc le texte de la page : http://www.mathcurve.com/courbes2d/cornu/cornu.shtml L'angle de rotation du volant d'une voiture étant proportionnel à l'angle de braquage des roues, lui-même équivalent à la courbure divisée par la longueur de la voiture quand la courbure de la trajectoire tend vers 0, la clothoïde est, au moins dans sa partie centrale, la courbe décrite par une voiture roulant à vitesse constante v, dont le conducteur tourne son volant à vitesse constante ; d'où son utilisation dans le tracé des courbes des autoroutes. Me semble discutable car :  Ce n’est pas la longueur de la voiture qui intervient, mais l’entraxe  La courbure de la trajectoire est proportionnelle au sinus de l’angle de braquage et non pas directement à l’angle L’utilisation de la clothoïde est en effet dictée par la variation continue de l’accélération normale (force centrifuge dépendant de 1/R), mais pas par la vitesse de rotation du volant continue. Du reste, si un véhicule voulait suivre une trajectoire clothoïdale telle que C(s) = s/A2 , la variation de l’angle de l’angle de braquage ne serait pas linéaire. La comparaison entre la trajectoire clothoïdale et la trajectoire que je cherche à exprimer donne lieu aux figures suivantes: 1. évolution de l'angle de braquage des roues sur une trajectoire droite/clothoïde/arc-de-cercle Le décalage e (excentricité) de la clothoïde par rapport au cercle vaut L2/24R et le point du cercle le plus proche de l'axe initial se trouve approximativement à une demi-longueur de clothoïde. 2. évolution de l'angle de braquage des roues sur une trajectoire droite/??/arc- de-cercle avec vitesse de braquage continue On remarquera qu'ici le cercle est décalé de telle sorte qu'il coupe la droite initiale. Mon problème est de trouver la valeur de ce décalage et la position par rapport au début du braquage. La seule valeur dont je soit sûr c'est la valeur limite, quand la vitesse de braquage et infinie. Ce cas correspond au véhicule tournant ses roues à l'arrêt, comme décrit dans la figure suivante : Le cercle est sécant à la droite et la géométrie de la trajectoire est élémentaire. _______________________________ Donc en résumé, si je ne me suis pas trompé, la trajectoire suivit par un véhicule qui tourne ses roues à vitesse constante  est décrite par la relation :        V .s sin E 1 C(s)  C = courbure S= abscisse curviligne  = vitesse de braquage V = vitesse du véhicule E = entraxe du véhicule et je cherche la forme cartésienne ou paramétrique de cette courbe, ou toute autre forme qui me permette de l'appréhender de manière simple. uploads/S4/ clotho-ou-pas.pdf