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Annexe A: dérivées et intégrales : un bref survol Bien que vous ayez déjà vu un

Annexe A: dérivées et intégrales : un bref survol Bien que vous ayez déjà vu une partie de ces sujets au niveau collégial et qu'en MAT-115 ils seront revus en détails, on peut néanmoins examiner rapidement ce que représente une dérivée ou une intégrale pour comprendre l'importance de ces sujets en sciences et en génie. LA DÉRIVÉE Considérons le problème physique suivant: on veut étudier le mouvement d'une particule (ou d'un objet) dans une direction donnée; il s'agit d'un mouvement rectiligne. Posons x(t): la position de l'objet au temps t. (La position de l'objet est en mètres (m) et le temps est en secondes (s) ). Pour étudier ce mouvement, on doit établir un référentiel, c'est-à-dire une origine et une direction positive. x 0 1 2 3 -1 On a ici un graphique qui représente un objet qui se situe un mètre à gauche de l'origine. Soit ,pour une expérience donnée, le graphique suivant qui représente la fonction x(t): -3 3 1 8 2 4 6 x x(t) t , où t varie entre 0 et 8 secondes. La quantité x(2) – x(0) = 3 – (–1) = 4 m. représente la variation de la position pendant les 2 premières secondes. Si on divise ce résultat par le temps écoulé, c'est-à-dire 2 secondes, on obtient la vitesse moyenne = 2 m/s. page A.2 Annexe A: dérivées et intégrales Et si on voulait la vitesse à l'instant t = 2s.? En regardant le graphique, on voit que la vitesse de l'objet a varié pendant l'expérience. En effet, si la vitesse avait été constante à 2 m/s, on aurait eu le mouvement suivant: 1 2 3 La vitesse est alors égale à la pente de la droite précédente. Si on veut connaître la vitesse à un instant précis, on pourrait mesurer celle-ci en demandant que la vitesse arrête de varier à cet instant. -3 3 1 8 2 4 6 x x(t) t Sur le graphique précédent, la courbe pleine représente la position de l'objet en fonction du temps. À partir de t = 2s, la droite pointillée représente la position si la vitesse demeurait constante et égale à sa valeur à cet instant. Donc, pour connaître la valeur de la vitesse à t = 2s., il suffit d'évaluer la pente de la droite pointillée. Et on remarque que cette droite est tangente à la courbe en t = 2. Finalement, pour avoir la vitesse de l'objet à un instant t0 donné, on n'a qu'à tracer la tangente à la courbe position à cet instant t0 et calculer la pente de cette droite. Malheureusement, si on veut connaître la vitesse à plusieurs moments différents, ce travail peut devenir fastidieux. De plus, tracer une tangente peut s'avérer difficile à appliquer en pratique. On peut cependant approximer la vitesse en t0 de la façon suivante: choisir t1 > t0 de telle façon que t1 – t0 soit très petit. alors v(t0) = ~ x(t1)–x(t0) t1– t0 En effet, si t1 est proche de t0, alors la vitesse moyenne de t0 à t1 sera proche de la vitesse réelle à t0. Annexe A: dérivées et intégrales page A.3 x x(t) t t t 0 1 On voit graphiquement qu'approximer la pente de la droite tangente peut se faire à l'aide de la pente d'une droite sécante. On peut voir que si t1 tend vers t0, alors à la limite les deux quantités [x(t1) et x(t0)] vont coïncider. Pensons au fonctionnement d'un radar pointé sur une auto. C'est cette procédure qui est utilisée pour afficher la vitesse de l'automobile. L'appareil estime, pour de petits intervalles de temps, la distance parcourue et en déduit la vitesse. La procédure que nous venons de décrire correspond à la définition de la dérivée d'une fonction en un point donné. Et c'est pour cette raison qu'on dit que la dérivée de la fonction position donne la fonction vitesse. Attention: La procédure décrite plus haut permet d'estimer la vitesse en un point; c'est un nombre. Comme, en général, la position varie selon le temps, cela implique que la vitesse varie aussi dans le temps. On pourra donc exprimer la vitesse comme une fonction du temps. La force du calcul différentiel réside dans le fait suivant: si on possède une expression mathématique pour la fonction position d'un objet, alors en utilisant la notion de dérivée, on peut déterminer une expression mathématique pour la fonction vitesse. Exemple A.1 si x(t) = t2–1 mètres, alors v(t) = 2t m/s (On verra ça plus loin) À t = 2 s., l'objet en mouvement est donc situé 22 – 1 = 3 m. à droite de l'origine et sa vitesse à cet instant précis est de 2·2 = 4 m/s. Remarque: ce n'est que lorsqu'on donne une valeur à t dans v(t) qu'on obtient la pente d'une droite tangente à la courbe x(t). La discussion que nous venons d'avoir peut se généraliser à n'importe quelle quantité physique que l'on désire étudier. Si on a une quantité q(t) variable dans le temps et qu'on désire connaître le taux de variation moyen de cette fonction entre t = t0 et t = t1, on n'a qu'à calculer q(t1) – q(t0) t1 – t0 . Par contre, si on veut connaître le taux de variation instantané de cette fonction q(t) à un instant t0 donné, on pourra utiliser la même méthode que celle décrite dans notre exemple et utiliser la notion de dérivée pour calculer la valeur cherchée. page A.4 Annexe A: dérivées et intégrales Dans le cas où q(t) = v(t) la vitesse d'un objet au temps t, alors la dérivée de v(t) donne le taux de variation instantané de v(t), ce qui représente l'accélération a(t). Si q(t) = T(t) représente la température d'un liquide, alors la dérivée de T(t) représente la "vitesse" à laquelle la température varie. (Si T(t) est en ˚C, la dérivée sera en ˚C/s). RÈGLES DE DÉRIVATION ET NOTATIONS Soit q(t) une fonction de la variable t. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on peut utiliser seulement la lettre q pour désigner cette fonction. On s'intéresse au taux de variation instantané de q (la variable dépendante) en fonction du temps t (la variable indépendante). Il s'agit d'une opération qu'on veut effectuer sur la fonction q. L'opération "calculer le taux de variation instantané de q" se note d dt(q). Le résultat de l'opération se note dq dt. On dit que d dt est l'opérateur "prendre la dérivée de ce qui suit"; on l'appelle l'opérateur "dérivée". Rappelons-nous la discussion qu'on a eue plus tôt sur le sujet. Les deux résultats suivants sont triviaux: 1- si q(t) = C une constante, alors q(t) ne varie pas et dq dt = 0. 2- si q(t) = at + b une droite, où a et b sont deux constantes quelconques, alors dq dt = a, la pente de la droite. On peut également noter l'opération "prendre la dérivée" par la notation apostrophe. On utilise cette notation couramment, s'il n'y a pas d'ambiguïté quant à la variable indépendante. On aurait, par exemple, d dt(4t – 5) = (4t – 5)’= 4. Considérons la fonction vitesse d'un objet. Nous avons vu que l'accélération s'obtient en prenant la dérivée de cette fonction: a(t) = d dt v(t) = dv dt . Mais v(t) = d dt x(t) = dx dt . Donc a(t) = d dt       dx dt = d2x dt2 . La fonction accélération est la dérivée deuxième de la fonction position. C'est dire que si nous avons une fonction qui nous donne la position d'un objet en mouvement, on obtiendra l'accélération de cet objet en dérivant la fonction position deux fois. Annexe A: dérivées et intégrales page A.5 On peut également s'intéresser à la dérivée de la fonction v (vitesse), cette fois par rapport à la position x, plutôt que par rapport au temps t: on cherche dv dx . Si on veut appliquer les règles de dérivation pour calculer dv dx , il faut exprimer v comme fonction de x. On utilisera le résultat suivant: dv dx = dv dt · dt dx = dv dt · 1 dx/dt = 1 v · dv dt Exemple A.2 soit x(t) = t2–1 mètres, avec t ≥ 0. Trouvons la vitesse quand x = 8m. On a dx dt = v(t) = 2t (nous verrons cette règle une peu plus loin) Mais si x = t2–1, alors x + 1 = t2 et t = x + 1 (car t ≥ 0) Donc, puisque v = 2t, on obtient v = 2 x + 1 m/s Si l'objet est à la position x = 8 m., alors la vitesse est de v(8) = 2 8 + 1 = 6 m/s. Le taux de variation de la vitesse par rapport à la position est donc dv dx = 1 v · dv dt = 1 2t · 2 = 1 t = 1 x + 1 L'opérateur dérivée est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que 1° d dt (r uploads/S4/ deriv.pdf