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PanaMaths [1-10] Mai 2011 Article PanaMaths Æ Le théorème de Céva Introduction

PanaMaths [1-10] Mai 2011 Article PanaMaths Æ Le théorème de Céva Introduction Le théorème de Céva qu’il publie en 1678, est un beau théorème, très pratique pour établir de nombreux résultat de concours dans le triangle. Giovanni Céva (Milan 1647 – Mantoue 1734) était un mathématicien et scientifique italien qui s’est principalement intéressé à la géométrie mais qui a également effectué des travaux en hydraulique et dans le domaine des mathématique appliquées à l’économie. Après avoir brièvement enseigné à Pise, il obtient en 1686 un poste de professeur de Mathématiques à l’université de Mantoue où il demeurera jusqu’à sa mort. Les notions abordées dans ce document sont des notions de géométrie vues dans les classes du secondaire : théorème de Thalès, cercle circonscrit, cercle inscrit et barycentre. Seule la notion de « mesure algébrique » sera peut-être nouvelle pour certains élèves. Le théorème de Céva Soit ABC un triangle. Soit A', B' et C' trois points appartenant respectivement aux droites ( ) BC , ( ) AC et ( ) AB et différents des sommets du triangle. On a : ( ) AA' , ( ) BB' et ( ) CC' parallèles ou concourantes AB' BC' CA' 1 AC' BA' CB' ⇔ × × = − Remarque : l’égalité AB' BC' CA' 1 AC' BA' CB' × × = − peut également être mémorisée sous la forme équivalente suivante : A C' B A' C B' 1 C' B A' C B' A × × = . www.panamaths.net / Le théorème de Céva PanaMaths [2-10] Août 2011 Démonstration ⇒ Nous commençons par traiter le cas où les droites ( ) AA' , ( ) BB' et ( ) CC' sont parallèles (voir figure ci-dessous). Le parallélisme nous permet d’utiliser le théorème de Thalès. On obtient immédiatement en considérant : • Le point A et les droites ( ) AB et ( ) AB' : C'B CB' C'A CA = soit : BC' CB' AC' CA = . • Le point C et les droites ( ) CB et ( ) CB' : A'B AB' A'C AC = , soit : CA' AC BA' AB' = . En multipliant membre à membre ces deux égalités, il vient : BC' CA' CB' AC CB' AC' BA' CA AB' AB' × = × = − A B C B' A' C' www.panamaths.net / Le théorème de Céva PanaMaths [3-10] Août 2011 On en déduit alors : BC' CA' AB' 1 AC' BA' CB' × × = −. On a bien obtenu l’égalité cherchée. Nous nous intéressons maintenant au cas où les droites ( ) AA' , ( ) BB' et ( ) CC' sont concourantes et nous notons I leur point d’intersection (voir figure ci-dessous). Dans un premier temps, établissons que le point I ne peut appartenir à aucune des droites ( ) AB , ( ) BC et ( ) AC . Supposons, par exemple, que le point I appartienne à la droite ( ) AB . Dans ce cas, les droites ( ) AB et ( ) AA' seraient confondues. Mais comme le point A' est un point de la droite ( ) BC , on en déduiraient finalement que le point A serait le point d’intersection des droites ( ) AB et ( ) BC . En d’autres termes, les points A' et B seraient confondus, ce qui, par hypothèse, n’est pas le cas. Le point I n’appartient donc pas à la droite ( ) AB . A B C B' C' A' I www.panamaths.net / Le théorème de Céva PanaMaths [4-10] Août 2011 En raisonnant de façon similaire, on établit que le point I n’appartient pas aux droites ( ) BC et ( ) AC . Finalement, le point I n’appartient à aucune des droites ( ) AB , ( ) BC et ( ) AC . Les points A, B et C n’étant pas alignés, le point I peut être considéré comme barycentre de ces trois points : A B C I bar α β γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ avec : 0 α β γ + + ≠ . On peut être plus précis. Si α était nul, le point I appartiendrait à la droite ( ) BC , ce qui n’est pas le cas. On a donc 0 α ≠ . De façon similaire, on montre que l’on a : 0 β ≠ et 0 γ ≠ . On a également 0 β γ + ≠ . En effet, supposons que l’on ait 0 β γ + = . On aurait alors : A B C A B C I bar bar IA IB IC 0 IA CB 0 α β γ α β β α β β α β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ + − = ⇔ + = JJ G JJ G JJ G G JJ G JJJ G G Ainsi, les droites ( ) AI et ( ) BC seraient parallèles, ce qui est absurde puisqu’elles se coupent en A'. On a donc : 0 β γ + ≠ . L’associativité du barycentre nous permet alors de considérer : B C A'' bar β γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Il vient alors : A A'' I bar α β γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ Le point A '' étant donc un point de la droite ( ) BC . Ainsi, le point A '' est le point d’intersection de la droite ( ) AI et de la droite ( ) BC . Or, ces deux droites se coupent en A'. On en déduit immédiatement que les points A '' et A' sont confondus. On a donc : B A' bar C β γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ www.panamaths.net / Le théorème de Céva PanaMaths [5-10] Août 2011 D’où : A 'B A 'C 0 β γ + = JJJJ G JJJJ G G et enfin, les coefficients étant non nuls : CA' BA' β γ = − . On démontre de façon similaire à ce qui vient d’être fait que l’on a : 0 α β + ≠ et 0 α γ + ≠ . On considère alors les barycentres A B C'' bar α β ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et A C B'' bar α γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et on démontre qu’ils sont respectivement confondus avec les points C' et B' . On a donc : A C B' bar α γ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et A B C' bar α β ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ On en tire alors respectivement : AB' CB' γ α = − et BC' AC' α β = − . En multipliant enfin membre à membre les trois égalités obtenues, il vient : CA' AB' BC' 1 BA' CB' AC' β γ α γ α β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × × = − × − × − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ On obtient bien l’égalité cherchée. On a ainsi établi : ( ) AA' , ( ) BB' et ( ) CC' parallèles ou concourantes AB' BC' CA' 1 AC' BA' CB' ⇒ × × = − Il convient désormais d’établir la réciproque de ce résultat. ⇐ Nous supposons ici que l’on a : AB' BC' CA' 1 AC' BA' CB' × × = −. Considérons alors les droites ( ) AA' et ( ) BB' . Deux situations sont envisageables : soit ces droites sont parallèles, soit elles sont sécantes. Nous allons envisager ces deux situations successivement. Æ ( ) AA' et ( ) BB' sont parallèles. On a donc deux droites parallèles, ( ) AA' et ( ) BB' , et deux droites sécantes en C, ( ) AC et ( ) BC . Le théorème de Thalès nous donne alors : A'C AC A'B AB' = . D’où : CA' AB' AC BA' × = . www.panamaths.net / Le théorème de Céva PanaMaths [6-10] Août 2011 On a alors : AB' BC' CA' 1 AC' BA' CB' CA' AB' BC' 1 BA' AC' CB' BC' AC 1 AC' CB' BC' B'C AC' AC × × = − × ⇔ × = − × ⇒ × = − × ⇔ = La réciproque du théorème de Thalès nous permet alors d’en déduire que les droites ( ) BB' et ( ) CC' sont parallèles. En définitive, les droites ( ) AA' , ( ) BB' et ( ) CC' sont parallèles. Æ ( ) AA' et ( ) BB' sont sécantes. Nous notons I leur point d’intersection. Pour se ramener à la situation « favorable » (trois droites sécantes), nous introduisons le point J, intersection des droites ( ) CI et ( ) AB . D’après la première uploads/S4/ nl-ceva.pdf