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1 LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE En partenariat avec : © Tous droits réservés Studyrama 2010 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com MATHEMATIQUES Série S Nº : 32005 Fiche Cours Plan de la fiche I - Les primitives II - Les intégrales III - Intégrale et inégalités IV - La formule d’intégration par parties I - Les primitives Primitive d’une fonction sur un intervalle On considère deux fonctions F et f définies sur un même intervalle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que pour tout x de I, F’(x) = f (x). Exemple : F : x 4 x est une primitive sur de f : x 3 x 4 Car F’(x) = 3 x 4 = f (x) ⾠ La fonction G : x 4 x + 7 est aussi une primitive de f sur car elle vérifie G’(x) = 3 4x = f (x) pour tout x réel. A noter : on parlera d’une primitive car visiblement, il n’y a pas unicité. Ecrire « la fonction x 1 x − est une primitive de la fonction x 2 1 x − sur l’intervalle ]– ∞,0[ et sur l’intervalle ]0, +∞[ » est correct. Ecrire « la fonction x 1 x − est une primitive de la fonction x 2 1 x − sur * » est incorrect. Existence (condition suffisante) Si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I. Les primitives d’une fonction sur un intervalle Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I. Alors une fonction G est une primitive de f sur I si et seulement s’il existe un réel k tel que G(x) = F(x) + k pour tout x de I. Exemple : T oute primitive sur de la fonction f : x 3 x 4 est de la forme x 4 x + k avec k réel. Primitive vérifiant une condition Soit 0 x un réel donné d’un intervalle I et 0 y un réel donné. Alors il existe une unique primitive de f sur I qui prend la valeur 0 y en 0 x . Fiche 5 : Integrales et primitives LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE En partenariat avec : © Tous droits réservés Studyrama 2010 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com MATHEMATIQUES Série S Nº : 32005 Fiche Cours ► À SAVOIR Primitives usuelles Elles sont obtenues par lecture « à l’envers » du tableau des dérivées des fonctions usuelles. La lettre n désigne un entier naturel. Fonction Primitive Intervalle de validité I x a x ax I x n x x 1 n x 1 n + + I avec n ≠ – 1 x n x 1 avec n ≥ 2 x 1 n x ) 1 n ( 1 − − − I * x 2 x 1 x x 1 − I * x x 1 x x 2 I *+ x x e x x e I x x 1 x ln |x| I * x cos(x) x sin(x) I x sin(x) x – cos(x) I x ) x ( tan 1 ) x ( cos 1 2 2 + = x tan(x) I – { } Z k , k 2 ∈ π + π Théorèmes • Linéarité : si les fonctions U et V sont respectivement des primitives des fonctions u et v sur l’intervalle I alors pour tous réels α et β, αU + βV est une primitive de αu + βv sur I. • On considère une fonction u dérivable sur un intervalle I. u e est une primitive de u e ' u sur I. Si u est strictement positive sur I alors pour tout réel α différent de – 1, 1 u 1 + α + α est une primitive de α u ' u sur I. Si u ne s’annule pas sur I et garde un signe constant alors ln |u| est une primitive de u ' u sur I. Exemple : Déterminer une primitive de f : x x + cos(x) Il s’agit de la somme de deux fonctions donc on fait la somme des primitives, en utilisant le tableau des primitives usuelles. F : x 2 x 2 + sin(x) On a obtenu une primitive. T outes les primitives de f sont les fonctions du type x 2 x 2 + sin(x) + K II - Les intégrales Intégrale définie Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. On considère deux réels a et b appartenant à I, alors le réel F(b) – F(a) ne dépend pas de la primitive F choisie. 3 LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE En partenariat avec : © Tous droits réservés Studyrama 2010 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com MATHEMATIQUES Série S Nº : 32005 Fiche Cours Ce réel F(b) – F(a) s’appelle l’intégrale de f entre a et b. On dit aussi « intégrale de a à b de f ». Notations et vocabulaire : L’intégrale de a à b de f est notée ∫ b a x d ) x ( f Les réels a et b sont les bornes de l’intégrale : le réel a est la borne inférieure, le réel b est la borne inférieure. On a : ∫ b a x d ) x ( f = ∫ b a t d ) t ( f ... La lettre x dans dx, (ainsi que la lettre t dans dt…) est dite muette ; elle indique la variable par rapport à laquelle on doit chercher une primitive de f. Elle doit être différente de celles attribuées à la fonction, aux bornes… Exemples : a) ∫ = 1 0 2 3 t x d t x car x 3 x 3 t est une primitive de x x² t sur . b) ∫ = 1 0 2 2 3 x x d t x car x 2 t x 2 2 est une primitive de t x² t sur . On utilise également la notation suivante : [ ] ) a ( F ) b ( F F(x) x d ) x ( b a b a − = = ∫f , qui permet d’expliciter une primitive de f. Exemple : ( ) 2 3 0 2 0 1 2 1 x 2 x x d 1 x 2 2 1 0 1 0 2 =       + −       + =       + = + ∫  Méthode : « Utilisation du tableau des primitives », fiche exercices n°5 « Integrales et primitives ». Primitive définie par une intégrale Soit f une fonction continue sur l’intervalle I et a un élément de I. La fonction F définie sur I par : x ∫ x a t d ) t ( f est la primitive de f qui s’annule en a. Exemple : La fonction ln est la primitive nulle en 1 de la fonction x x 1 sur l’intervalle ]0, + ∞[ car ln(x)= ∫ x 1 t d t 1 pour tout réel x strictement positif. Evidemment on a : f f = ′       ∫ x a t d ) t ( x  Aire et intégrale On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle I ainsi que deux réels a et b appartenant à I et tels que a < b. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i  , j  ). L’aire du domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses, les droites d’équations respectives x = a et x = b est égale à x d ) x ( b a ∫f l’unité d’aire étant l’aire du rectangle construit sur (O, i  , j  ). Remarque : le domaine considéré est l’ensemble des points M(x, y) tels que      ≤ ≤ ≤ ≤ ) x ( y 0 b x a f Pour une fonction continue et négative sur I, l’aire du domaine défini par      ≤ ≤ ≤ ≤ 0 y ) x ( b x a f est égale à x d ) x ( b a ∫ − f  Méthode : « Calculer une aire », fiche exercices n°5 « Integrales et primitives ». 4 LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE En partenariat avec : © Tous droits réservés Studyrama 2010 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com MATHEMATIQUES Série S Nº : 32005 Fiche Cours ► À SAVOIR Propriétés de l’intégrale Dans toute cette partie, f et g sont des fonctions continues sur I. Les réels a, b, c sont des éléments de I. Relation de Chasles ∫ ∫ ∫ + = c a b c b a x d ) x ( x d ) x ( x d ) x ( f f f uploads/S4/ cours-maths-s-05.pdf