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Page 1 sur 4 ENPC – CALCUL AVANCE DES STRUCTURES le 29/09/2015 J-M. TOURTOIS CO

Page 1 sur 4 ENPC – CALCUL AVANCE DES STRUCTURES le 29/09/2015 J-M. TOURTOIS CONTRAINTES ET SOLLICITATIONS Devoir n°1 à rendre impérativement le 2 novembre 2015 Les tabliers de ponts sont souvent constitués de caissons en béton précontraint ayant l’allure suivante : 1 m En vue de l’étude des cisaillements sur un tel caisson, nous le schématisons suivant le profil mince ci- dessous : a a a 2a e e e e G z y x ligne moyenne du profil mince A B E F C O O' D Voir dans le cours la définition et les propriétés des profils minces. Gxyz est le repère local de la section droite : - Gy est son axe principal d’inertie horizontal, - Gz est son axe principal d’inertie vertical. Origines et orientation de l’abscisse curviligne et sur la ligne moyenne : G z y x A B C D E F O (EA) (FB) (OACDBO) Page 2 sur 4 On appelle : - ( ) σ A l’aire de la section droite comprise entre les abscisses curvilignes 0 et σ , Sur la ligne moyenne ACDB, ( ) σ A intègre l’aire d’une « ramification » (EA ou FB) raccordée à une abscisse curviligne inférieure à « σ » : G z y x O A( ) G z y x O A( ) G z y x O A( ) - ( ) σ y m et ( ) σ z m les valeurs algébriques des moments statiques de ( ) σ A par rapport aux axes principaux d’inertie Gy et Gz. G est le module de déformation transversal du matériau. 1°/ -- Déterminer les caractéristiques mécaniques de ce profil mince : Aire S, position du centre de gravité G, inerties principales y I et z I 2°/ -- Tracer le long de la ligne moyenne, les épures de ( ) σ y m et ( ) σ z m 2°/ -- Pour une sollicitation d’effort tranchant z V , déterminer l’épure des contraintes de cisaillement le long de la ligne moyenne du profil suivant son orientation telle que définie. G z y x Vz 3°/ -- Même question pour un effort tranchant y V : G z y x Vy 4°/ -- Déterminer les coordonnées T y et T z du centre de torsion T de la section, dans son repère local Gyz. Rappel : le centre de torsion est le point, fixe, de passage de la résultante des contraintes de cisaillement d’effort tranchant. Page 3 sur 4 5°/ -- On considère un tablier de pont construit par encorbellement, dans sa phase provisoire : fléau avant clavage Il s’agit d’une poutre horizontale de longueur 2L, encastrée totalement sur pile au droit de sa section droite médiane 0 G : toutes les translations et rotations de la section droite sur appui 0 G sont bloquées. La section droite de cette poutre est constante, celle définie précédemment. La fibre moyenne de la poutre est la droite x G0 munie d’une abscisse curviligne d’origine 0 G . Le repère global considéré est le repère xyz G0 , repère local de la section droite sur appui 0 G . x G0 z y L L La structure est soumise à une force ponctuelle → P appliquée dans la section droite d’extrémité d’abscisse curviligne L. x G z y d G0 z y z y x G d L L M P M P Page 4 sur 4 Dans le repère global xyz G0 : - la force → P a pour composantes ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x P P P - elle est appliquée au point M de coordonnées ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ a a 2 L 5°/ -- 1 – Déterminer les sollicitations dans la section droite G d’abscisse curviligne (L-d) avec les conventions de signes de la Mécanique, dans son repère local Gxyz : ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y V V N et ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y M M C 5°/-- 2 – Cisaillements : dans la section droite G (abscisse d L G G0 − = ), calculer ( ) σ τ en fonction de « σ » et des grandeurs déterminées précédemment non développées donc de la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) C , V , V , σ m , σ m , a , e f σ τ z y z y = Sur l’orientation de la ligne moyenne choisie : G z y x A B C D E F O (EA) (FB) (OACDBO) i( ) i( ) i( ) i( ) i( ) On appelle ( ) σ → i le vecteur unitaire de la tangente orientée à la ligne moyenne du profil mince. 5°/-3 – En adoptant les conventions de signes de la mécanique déterminer, dans le repère local Gxyz, le tenseur contraintes au point N de la ligne moyenne de la section droite G, d’abscisse curviligne ε − = σ a 5 N en fonction des grandeurs déterminées précédemment non développées, sollicitations, caractéristiques mécaniques, contraintes de cisaillement, donc de la forme : ( ) ( ) ) σ τ , M , M , N , I , I , S , a , e f σ z y z y x x j i = G z y x N uploads/S4/ devoir-1-2015-16-enonce.pdf