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Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862267 1 C1 Soit la fonction f définie par : 3 3 1 ( ) ²cos² 1 0 2 sin 0 2 1 x x si x f x x si x x x x si x x    − + −     = −          +    + On désigne par ( ) f C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( , , ) O i j . 1°) a) Montrer que pour tout   0, x  + on a : ( ) 1 1 2 1 2 1 x x f x x x − +   + + . b) En déduire ( ) lim x f x →+ et interpréter graphiquement le résultat . 2°) Calculer ( ) lim x f x →− et montrer que ( ) f C admet au voisinage de −une direction asymptotique que l’on précisera. 3°) a) Montrer que pour tout   1,0 x− , on a : 0 ( ) ² f x x   . b) Etudier alors la continuité de f en 0. 1°) Soit g la fonction définie et dérivable sur ]0, +[ par : 2 1 ( ) 1 x g x x x = − + et dont le tableau de variation est : On désigne par g C la courbe représentative de g dans un repère orthonormé ( , , ) O i j . a) Calculer ( ) lim x g x x →+ . b) Montrer que l’équation ( ) 2 g x x = admet dans 1 ,1 2       une unique solution . c) Déduire la position relative de g C et la droite : 2 D y x = sur 1 ,1 2       . EXERCICE N°1 : 6 points 25 ' EXERCICE N°2 : 7 points 40 ' DEVOIR DE CONTROLE N°1 www.TakiAcademy.com BAC Section Sciences Tous droits réservés © TakiAcademy.com : 23390248 - 29862815 2 C1 2°) Dans le graphique ci-contre : ( ) f C est la courbe représentative dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et continue sur l'intervalle IR . ∎ L’axe des abscisse est une asymptote à ( ) f C au voisinage de −. ∎ ( ) f C admet une asymptote d’équation : : y x  = au voisinage de +. On pose ( ) ( ) h x g f x = . a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h. b) Déterminer ( 2) h − , x 1 ( ) lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) et lim . x x x h x h x h x h x x + →− →+ →+ → c) Montrer que pour tout 1 x  ; on a : ( ) 1 h x −. Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct , on considère le point A d’affixe 1, ( ) c le cercle de diamètre , M un point variable du cercle ( ) c tels que ( )   , 2 2 MO MA    et OMKL est un carré de sens direct. On pose M Z , L Z , K Z , les affixes respectives des points M, L, K. 1°) a) Calculer L M Z Z et K M Z Z . b) Vérifier que   arg 2 2 L M Z Z         , et   arg 2 4 K M Z Z         . c) Écrire alors L M Z Z et K M Z Z sous forme exponentielle. d) En déduire que L M Z i Z = et ( ) 1 K M Z i Z = + . 2°) Soit P Z et N Z les affixes respectives des points P et N tels que : 1 P M Z i Z i = − + + et ( ) 1 N M Z i Z i = − + . Montrer que le quadrilatère MAPN est un carré. 3°) a) Montrer que P et L sont symétriques par rapport à un point fixe  que l’on précisera. b) Vérifier que le point  appartient à ( ) c . 4°) a) Montrer que et que . b) Montrer que . c) En déduire la nature exacte du triangle . ( ) , , O u v   OA ( ) 1 1 2 K M Z Z i Z    − = + −     ( ) 1 1 2 N M Z Z i Z    − = − −     aff K i aff N  =  NK  EXERCICE N°3 : 7 points 30 ' uploads/S4/ devoir-controle 3 .pdf