CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2016 EPREUVE DE MATHEMAT
CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2016 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Question 1 : A) FAUX B) VRAI C) VRAI D) FAUX Explication 1 : m = x + y 2 ⩾x + x 2 = x et m = x + y 2 ⩽y + y 2 = y. Donc, x ⩽m ⩽y. Donc, B et C sont vrais. Notons que quand x < y, m > x et donc A est faux et m < y et donc D est faux. Question 2 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 2 : g = √xy ⩾ √ x2 = x (car x ⩾0) et g = √xy ⩽ p y2 = y. Donc, x ⩽g ⩽y. Donc, A et D sont vrais et B et C sont faux. Question 3 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) VRAI Explication 3 : 1 h est la moyenne arithmétique de 1 x et 1 y avec 0 < 1 y ⩽1 x. Donc, 1 y ⩽1 h ⩽1 x puis x ⩽h ⩽y. Donc, C et D sont vrais et A et B sont faux. Question 4 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 4 : m −g = x + y 2 −√xy = 1 2 x −2√x√y + y = 1 2 √x −√y 2 ⩾0. Donc, m ⩾g. En appliquant à 1 x et 1 y, on obtient 1 h = 1 2 1 x + 1 y ⩾ r1 x × 1 y = 1 g > 0 et donc h ⩽g. En résumé, 0 < x ⩽h ⩽g ⩽m ⩽y. Donc, C est vrai et A, B et D sont vrais. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Question 5 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 5 : D’après ce qui précède, B est vrai et A, C et D sont faux. Partie II Question 6 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) VRAI Explication 6 : 1, z, z2, z3 et z4 sont les cinq racines 5-èmes de l’unité dans C. On sait que z5 = 1 et que 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0. Donc, α + β = −1 et αβ = z3 + z4 + z6 + z7 = z3 + z4 + z + z2 = −1. Donc, B et D sont vrais et A et C sont faux. Question 7 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 7 : α et β sont les racines de X2 −(α + β)X + αβ = X2 + X −1. A est vrai et B, C et D sont faux. Question 8 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 8 : Donc, {α, β} = −1 + √ 5 2 , −1 − √ 5 2 . α = e 2iπ 5 + e−2iπ 5 = 2 cos 2π 5 > 0 et β = e 4iπ 5 + e−4iπ 5 = 2 cos 4π 5 < 0. Donc, cos 2π 5 = −1 + √ 5 4 = cos 8π 5 et cos 4π 5 = −1 − √ 5 4 = cos 6π 5 . Puisque sin 2π 5 > 0, sin 2π 5 = s 1 −cos2 2π 5 = v u u t1 − −1 + √ 5 4 !2 = 1 4 p 10 + 2 √ 5 = r 5 + √ 5 8 = −sin 8π 5 . Puisque sin 4π 5 > 0, sin 4π 5 = v u u t1 − −1 − √ 5 4 !2 = 1 4 p 10 −2 √ 5 = r 5 − √ 5 8 = −sin 6π 5 . Tout est faux. Partie III http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Question 9 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 9 : I0 = Z 1 0 dx √ 1 + x2 = h ln x + p 1 + x2 i1 0 = ln 1 + √ 2 . A est vrai et B est faux. I1 = Z 1 0 xdx √ 1 + x2 = hp 1 + x2 i1 0 = √ 2 −1. C et D sont faux. Question 10 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 10 : Soit k ⩾2. Ik = Z 1 0 xk−1 x √ 1 + x2 dx = h xk−1p 1 + x2 i1 0 − Z 1 0 (k −1)xk−2p 1 + x2 dx = √ 2 −(k −1) Z 1 0 xk−2 1 + x2 √ 1 + x2 dx = √ 2 −(k −1) (Ik−2 + Ik) , et donc kIk = √ 2 −(k −1)Ik−2. B est vrai et A, C et D sont faux. Question 11 : A) VRAI B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 11 : 2I2 = √ 2 −I0 = √ 2 −ln 1 + √ 2 puis I2 = √ 2 −ln 1 + √ 2 2 = 1 2 ln e √ 2 1 + √ 2 ! . A est vrai et B est faux. 3I2 = √ 2 −2I1 = √ 2 −2 √ 2 −1 = 2 − √ 2 puis I3 = 2 − √ 2 3 . B est vrai et D est faux. Partie IV Question 12 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 12 : A ne peut être multipliée à droite que par une matrice ayant 3 lignes. Donc, A et C sont faux. (S) ⇔ 3 1 0 −2 1 −2 1 −2 3 x y z = 8 −1 −3 . Donc B est vrai et D est faux. http ://www.maths-france.fr 3 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Question 13 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 13 : En développant suivant la première ligne, on obtient det(A) = 3(3 −4) −(−6 + 2) = −3 + 4 = 1. B est vrai et A, C et D sont faux. Question 14 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 14 : det(A) ̸= 0. Donc le système (S) est de Cramer. (S) admet un unique triplet solution. A et C sont faux. 3 × 1 + 5 = 8 −2 × 1 + 5 −2 × 2 = −1 1 −2 × 5 + 3 × 2 = −3 . Donc, l’unique solution est (1, 5, 2). B est vrai et D est faux. Question 15 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 15 : det(A) ̸= 0. Donc A est inversible. A est faux. A−1 = 1 det(A) t(com(A)) = −1 −3 −2 4 9 6 3 7 5 . D est vrai et B et C sont faux. Partie V Question 16 : A) VRAI B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 16 : 1 + cos θ + i sin θ = 2 cos2 θ 2 + 2i sin θ 2 cos θ 2 = 2 cos θ 2 ei θ 2 . Puisque θ ∈] −π, π[, on a θ 2 ∈ i −π 2 , π 2 h puis 2 cos θ 2 > 0. Donc |z| = 2 cos θ 2 . On a aussi |z| = p (1 + cos θ)2 + (sin θ)2 = √ 2 + 2 cos θ. Donc, A et C sont vrais et B et D sont faux. http ://www.maths-france.fr 4 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Question 17 : A) VRAI B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 17 : Puisque z = 2 cos θ 2 ei θ 2 avec 2 cos θ 2 > 0, les arguments de z sont les θ 2 + 2kπ, k ∈Z. A est vrai et B est faux. Puisque θ 2 ∈ i −π 2 , π 2 h , tan(α) existe et tan(α) = tan θ 2 . C est vrai et D est faux. Question 18 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 18 : A est vrai et B et C sont faux. Puis z = 2 cos θ 2 ei θ 2 = 2 cos2 θ 2 + 2 sin θ 2 cos θ 2 = 2 cos2 θ 2 1 + i tan θ 2 car 2 cos2 θ 2 ̸= 0. Donc, D est vrai. Partie VI Question 19 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 19 : tan(a + b) = tan a + tan b 1 −tan uploads/S4/ enacpilotes-2016-corrige.pdf
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- Publié le Jan 05, 2023
- Catégorie Law / Droit
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