CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2018 EPREUVE DE MATHEMAT
CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 2018 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Question 1 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 1 : Soit I l’un des trois intervalles ] −∞, −1[, ] −1, 1[ ou ]1, +∞[. Les solutions de (Eh) sur I constituent un R-espace vectoriel de dimension 1 par continuité sur I de a : x 7→− 2x 1 −x2 . Les solutions de (Eh) sur V constituent un R-espace vectoriel, plus nécessairement de dimension 1. 1 −x2 × 1 −x2′ −2x 1 −x2 = −4x 1 −x2 ̸= 0. Donc A) est faux. 1 −x2 × 1 + x2′ −2x 1 + x2 = 2x 1 −x2 −1 −x2 = −4x3 ̸= 0. Donc B) est faux. 1 −x2 × 1 1 −x2 ′ −2x 1 1 −x2 = 1 −x2 2x (1 −x2)2 − 2x 1 −x2 = 0. Donc C) est vrai. 1 −x2 × −ln 1 −x2′ −2x −ln 1 −x2 = 2x + 2x ln 1 −x2 ̸= 0. Donc D) est faux. Question 2 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 2 : f est une solution de (Eh) sur V si et seulement si les restrictions de f à ] −∞, −1[, ] −1, 1[ et ]1, +∞[ sont solutions sur chacun de ces intervalles ce qui équivaut à l’existence de (C1, C2, C3) ∈R3 tel que pour tout x de V, f(x) = C1/ 1 −x2 si x < −1 0 si x = −1 C2/ 1 −x2 si −1 < x < 1 0 si x = 1 C3/ 1 −x2 si x > 1 = C1 1/ 1 −x2 si x < −1 0 sinon + C2 1/ 1 −x2 si −1 < x < 1 0 sinon + C3 1/ 1 −x2 si x > 1 0 sinon . L’ensemble des solutions est Vect (f1, f2, f3) où pour tout x ∈V, f1(x) = 1/ 1 −x2 si x < −1 0 si x ⩾−1 , f2(x) = 1/ 1 −x2 si −1 < x < 1 0 sinon et f3(x) = 1/ 1 −x2 si x > 1 0 sinon . De plus, si pour tout x de V, C1f1(x) + C2f2(x) + C3f3(x) = 0, en évaluant en 0, 2 et −2, on obtient C1 = C2 = C3 = 0. Donc, (f1, f2, f3) est libre puis une base de l’espace des solutions. Donc, n = 3. D) est vrai et le reste est faux. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. Question 3 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 3 : Soit I l’un des trois intervalles ] −∞, −1[, ] −1, 1[ ou ]1, +∞[. f solution de (E) sur I ⇔∀x ∈I, 1 −x2 f′(x) −2xf(x) = x2 ⇔∀x ∈I, 1 −x2 f ′ (x) = x2 ⇔∃C ∈R/ ∀x ∈I, 1 −x2 f(x) = x3 3 + C ⇔∃C ∈R/ ∀x ∈I, f(x) = x3 3 + C 1 −x2 Une solution de (E) sur I est obtenue pour C = 0 : x 7→ x3 3 (1 −x2), fonction qui est finalement solution de (E) sur V. Donc, C) est vrai. Les solutions de (E) sur I sont les fonctions x 7→ x3 3 + C 1 −x2 , C ∈R. Aucune valeur de C n’est telle que 1 −x2 ne se simplifie (C = −1 3 permet de simplifier x −1 mais pas x + 1 et C = 1 3 permet de simplifier x + 1 et pas x −1) et donc B) et A) sont faux. D) est clairement faux. Question 4 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 4 : Tout est faux puisqu’il faut trois constantes C1, C2 et C3 indépendantes les unes des autres. Par contre sur I, D) est vrai. Partie II Question 5 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 5 : On note (Ec) l’équation caractéristique associée à la récurrence proposée. Pour A), (Ec) : 2z2 + 5z + 2 = 0 ⇔2 z + 1 2 (z + 2) = 0. L’ensemble des solutions est λ ((−2)n) + µ −1 2 n . A) est faux. Pour B), (Ec) : 2z2 −5z + 2 = 0 ⇔2 z −1 2 (z −2) = 0. L’ensemble des solutions est λ (2n) + µ 1 2n . B) est vrai. Pour C), (Ec) : 2z2 −3z −2 = 0 ⇔2 z + 1 2 (z −2) = 0. L’ensemble des solutions est λ (2n) + µ −1 2 n . C) est faux. Pour D), (Ec) : 2z2 + 3z −2 = 0 ⇔2 z −1 2 (z + 2) = 0. L’ensemble des solutions est λ ((−2)n) + µ 1 2n . D) est faux. http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. Question 6 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 6 : L’équation caractéristique associée à (R) est (Ec) : 3z2 −2z −5 = 0. Les solutions de cette équation sont q2 = −1 et q1 = 5 3 (à partir de q1q2 = −5 3). Donc, B) est vrai et le reste est faux. Question 7 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 7 : Donc, il existe (λ, µ) ∈R2 tel que : ∀n ∈N, un = λ 5 3 n + µ(−1)n. u0 = 1 u1 = 13 3 ⇔ λ + µ = 1 5 3λ −µ = 13 3 ⇔ 8 3λ = 16 3 ((I) + (II)) λ + µ = 1 (I) ⇔ λ = 2 µ = −1 (I) Donc, pour tout n ∈N, un = 2 5 3 n −(−1)n. A) est vrai et le reste est faux. Partie III Question 8 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 8 : Il existe trois réels a, b et c tels que R = 1 X(X −1)2 = a X + b X −1 + c (X −1)2 . • a = lim x→0 xR(x) = 1 (0 −1)2 = 1. • c = lim x→1(x −1)2R(x) = 1 1 = 1. • a + b = lim x→+∞xR(x) = 0 et donc b = −a = −1. 1 X(X −1)2 = 1 X − 1 X −1 + 1 (X −1)2 . Donc, C) est vrai et le reste est faux. Question 9 : A) VRAI B) FAUX C) FAUX D) FAUX http ://www.maths-france.fr 3 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. Explication 9 : Une primitive de la fonction x 7→ 1 x(x −1)2 sur ]0, 1[ est donc F : x 7→ln |x| −ln |x −1| − 1 x −1 = ln(x) −ln(1 −x) − 1 x −1. A) est vrai et le reste est faux. Question 10 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) FAUX Explication 10 : Une primitive de la fonction x 7→ 1 x(x −1)2 sur ]1, +∞[ est donc F : x 7→ln |x| −ln |x −1| − 1 x −1 = ln(x) −ln(x −1) − 1 x −1. Tout est faux. Question 11 : A) FAUX B) VRAI C) FAUX D) FAUX Explication 11 : Q est continue sur le segment [2, 3] et donc I existe. D) est faux. A) et C) sont faux car I > 0. I = ln(x) −ln(x −1) − 1 x −1 3 2 = ln 3 −ln 2 −1 2 −(ln 2 −ln 1 −1) = ln 3 4 + 1 2. B) est vrai. Question 12 : A) FAUX B) FAUX C) VRAI D) FAUX Explication 12 : Pour tout réel x, g(x) = e−(1+2in)x. Une primitive de g sur R est la fonction G définie sur R par : ∀x ∈R, G(x) = − 1 1 + 2ine−(1+2in)x = − 1 1 + 2ine−xe−2inx. C) est vrai et le reste est faux. Question 13 : A) FAUX B) FAUX C) FAUX D) VRAI Explication 13 : (erreur d’énoncé : lire t < −1) La décomposition en éléments simples de f = 2X (1 + X2) (1 + X)2 sur R s’écrit http ://www.maths-france.fr 4 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés. f = a 1 + X + b (1 + X)2 + cX + d 1 + X2 , (a, b, c, d) ∈R4. • b = lim x→−1(x + 1)2f(x) = 2(−1) 1 + (−1)2 = −1. • ci + d = lim x→i 1 + x2 f(x) = 2i (1 + i)2 = 2i 2i = 1 et donc d = 1 et c = 0. • a + c = lim x→+∞xf(x) = 0 et donc a = 0. Finalement, 2X (1 + X2) (1 + X)2 = − 1 (1 uploads/S4/ enacpilotes-2018-corrige 1 .pdf
Documents similaires
-
32
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Nov 18, 2022
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
- Taille du fichier 0.1178MB