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TS1 Contrôle du jeudi 25 avril 2013 (4 h) Partie commune (3 heures) I. (5 point

TS1 Contrôle du jeudi 25 avril 2013 (4 h) Partie commune (3 heures) I. (5 points) Dans l’espace muni d’un repère orthonormé   O, , , i j k  , on considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; – 3), C(3 ; 1 ; – 3), D(1 ; 0 ; – 2), E(3 ; 2 ; – 1), I 3 9 ; 4 ; 5 5        . Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Chaque réponse exacte rapporte un point ; chaque réponse fausse enlève un point. Aucun point n’est ajouté ou retranché en l’absence de réponse. 1°) Une équation cartésienne du plan (ABC) est 2 2 – –11 0 x y z   . 2°) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). 3°) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 4°) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : 1 2 1 1 x t y t z t        (t ). 5°) Le point I est sur la droite (AB). II. (5 points) Les candidats à un oral de concours s’enregistrent pour vérifier que la durée de leur exposé est conforme au règlement de ce concours. Chaque candidat peut s’exprimer soit en français, soit en anglais. On sait que : 80 % des candidats interrogés s’expriment en français, 18,6 % des candidats interrogés font un exposé en anglais de durée conforme au règlement, 83 % des candidats qui s’expriment en français ont un exposé de durée conforme au règlement. On interroge au hasard un candidat ; chaque candidat a la même probabilité d’être interrogé. On donnera les probabilités arrondies au millième le cas échéant (sauf pour la question 3°) de la partie C). Partie A 1°) Calculer la probabilité que la durée de l’exposé soit conforme au règlement. On pourra utiliser les événements E : « la durée de l’exposé est conforme au règlement » et F : « l’exposé est en français ». 2°) La durée est conforme au règlement. Quelle est la probabilité que cet exposé soit en anglais ? Partie B La durée de l’exposé est conforme au règlement du concours si elle est comprise entre 535 et 665 secondes. Soit X la variable aléatoire qui à chaque candidat associe la durée de son exposé en secondes. On suppose que X suit la loi normale d’espérance 600 et d’écart-type 30. 1°) Calculer la probabilité qu’un exposé choisi au hasard soit de durée convenable. 2°) Calculer la probabilité qu’un exposé choisi au hasard soit de durée trop courte pour être recevable. 3°) Quelle est la durée minimale, à une seconde près, des 10 % d’exposés les plus longs ? 4°) Déterminer l’intervalle fermé I, centré sur 600, tel que   X I 0,9 P   . On arrondira les bornes au millième. Partie C On admet dans cette partie que 85 % des exposés sont de durée convenable. On choisit au hasard 30 enregistrements. Le nombre d’enregistrement est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce choix à un tirage avec remise de 30 enregistrements. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre d’exposés, parmi les 30, dont la durée est convenable. 1°) Quelle est la loi de Y ? Préciser ses paramètres. 2°) Quelle est la probabilité qu’exactement 20 des 30 enregistrements soient de durée convenable ? 3°) Quelle est la probabilité qu’au plus la moitié des enregistrements soit de durée convenable ? III. (5 points) Pour tout entier naturel n, on pose 1 0 e d 1 nx n I x x     et   1 2 0 e d 1 nx n J x x     . On ne cherchera pas à calculer n I et n J . 1°) a) Soit n un entier naturel fixé. Démontrer que pour tout réel   0 ;1 x , on a :   2 e e 0 e 1 1 nx nx nx x x         . b) Déterminer lim n n I  et lim n n J  . 2°) a) Pour tout entier naturel n, on note n f la fonction définie sur l’intervalle   0 ;1 par  e 1 nx n f x x   . a) Démontrer que pour tout réel   0 ;1 x , on a :     2 e ' 1 nx n n f x nf x x     . b) En déduire que pour tout entier naturel 1 n , on a : 1 e 1 2 n n n I J n           . c) Déterminer à l’aide de la question b)   lim n n nI  . Partie pour les élèves n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques (1 heure) I. (2 points) On pose 0 I e cos d x x x   et 0 J e sin d x x x   . 1°) Calculer la dérivée de la fonction f : x ex sin x. En déduire la valeur de I J . 2°) Calculer la dérivée de la fonction g : x ex cos x. En déduire la valeur de I – J . 3°) Calculer I et J. II. (3 points) On considère la fonction f : x e 1 x x  définie sur *. Partie A 1°) Étudier les variations de la fonction  : x e 1 e x x x  (sans les limites) ; en déduire le signe de  x  pour x  2°) Déterminer le sens de variation de f (sans les limites). Partie B Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de  3 1 I d f x x  . On ne cherchera pas à calculer cette intégrale. 1°) Démontrer que pour tout réel 0 x  , on a :  e 1 e x x f x x     . 2°) Démontrer que si 1 3 x   , alors  e 3e 1 e 1 e x x x x f x         . 3°) En déduire que l’on a I 3 a a  avec 3 1 1 e ln 1 1 e a                . Partie pour les élèves ayant choisi la spécialité mathématiques (1 heure) I. (2 points) Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : « niveau facile », « niveau moyen » et « niveau difficile ». Au premier janvier 2010, l’association a fait son bilan :  20 % de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A,  70 % de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B,  10 % de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C. Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée. Il s’avère que, d’une année à l’autre :  parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40 % restent à ce niveau et 60 % passent au niveau B,  parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70 % restent à ce niveau, 20 % reviennent au niveau A et les autres passent au niveau C,  parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85 % restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B. On note : A l’état « l’adhérent choisit le niveau A », B l’état « l’adhérent choisit le niveau B », C l’état « l’adhérent choisit le niveau C ». Pour n entier naturel, on note   Pn n n n a b c  la matrice ligne donnant l’état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l’ordre donné dans l’énoncé), au premier janvier de l’année 2010 + n. Ainsi   0 P 0,2 0,7 0,1  . On décide de se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l’évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs). 1°) Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C. Écrire sans expliquer la matrice de transition M en ligne de ce graphe probabiliste, en respectant l’ordre alphabétique des sommets. 2°) Une seule des trois matrices Q, R, S ci-dessous correspond à l’état probabiliste stable. Indiquer laquelle en expliquant. 1 1 1 Q 3 3 3       1 1 1 R 6 2 3      uploads/S4/ ts-controle-25-4-2013-version-23-12-2021.pdf