Coordonnées d’un vecteur, du milieu, distance Soit un repère quelconque (O, ⃗ ı

Coordonnées d’un vecteur, du milieu, distance Soit un repère quelconque (O, ⃗ ı, ⃗ ) . Soit deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) : • les coordonnées du vecteur −→ AB vérifient : notation matricielle : −→ AB =  xB −xA yB −yA  • les coordonnées de I milieu de [AB] : xI yI ! =    xA + xB 2 yA + yB 2    • B Dans un repère orthonormé (O, ⃗ ı, ⃗ ) , on a : ||−→ AB || = AB = q (xB −xA)2 + (yB −yA)2 Application du déterminant Soit les points M −1 1  , N  5 10  et P  3 7  det(− − → MN , − − → MP ) = 5 −(−1) 3 −(−1) 10 −1 7 −1 = 6 4 9 6 = 36 −36 = 0 Les vecteurs − − → MN et − − → MP sont colinéaires et donc les points M, N et P sont alignés. Test de colinéarité Soit un repère quelconque (O, ⃗ ı, ⃗ ) . Soit deux vecteurs ⃗ u =  x y  et ⃗ v =  x′ y′  . On appelle déterminant des vecteurs ⃗ u et ⃗ v le nombre noté det(⃗ u,⃗ v) tel que : det(⃗ u,⃗ v) = x x′ y y′ = xy′ −x′y ⃗ u et ⃗ v colinéaires ⇔det(⃗ u,⃗ v) = 0 Remarque : les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles Les vecteurs Le point de vue analytique Opération avec la notation matricielle Soit un repère quelconque (O, ⃗ ı, ⃗ ) . Soit k un réel. Soit deux vecteurs ⃗ u =  x y  et ⃗ v =  x′ y′  . • ⃗ u +⃗ v =  x y  +  x′ y′  =  x + x′ y + y′  • k⃗ u = k  x y  =  kx ky  • ⃗ u = ⃗ v ⇔  x y  =  x′ y′  ⇔ ( x = x′ y = y′ Application équations de droites Soit les droites d et d′ d’équations respectives : d : 7x −3y + 2 = 0 et d′ : 5x −2y −8 = 0. Les vecteurs ⃗ u =  3 7  et ⃗ v =  2 5  sont des vecteurs directeurs respectifs de d et d′. det(⃗ u,⃗ v) = 3 2 7 5 = 15 −14 = 1 Comme det(⃗ u,⃗ v) ̸= 0, les vecteurs ⃗ u et⃗ v ne sont pas colinéaires et donc les droites d et d′ sont sécantes Équation cartésienne d’une droite Soit un repère quelconque (O, ⃗ ı, ⃗ ) . Soit un point A(xA ; yA) et un vecteur ⃗ u = −b a  . Soit M  x y  un point quelconque de la droite d passant par A et de vecteur directeur ⃗ u. On a alors : det(− − → AM , − → u ) = 0 ⇔ x −xA −b y −yA a = 0 a(x −xA) + b(y −yA) = 0 La droite d a pour équation : ax + by + c = 0 avec c = −(axA + byA) PAUL MILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 8 mars 2017 à 14:15 PREMIÈRE S 1re définition : définition normative Le produit scalaire de deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v est le nombre réel, noté ⃗ u ·⃗ v et lu «⃗ u scalaire ⃗ v » tel que : ⃗ u ·⃗ v = 1 2  ||⃗ u +⃗ v||2 −||⃗ u||2 −||⃗ v||2 Remarque : Cette définition mesure le défaut d’orthogo- nalité entre les vecteurs ⃗ u et ⃗ v. Soit ABCD un parallélo- gramme. −→ AB + − − → AD = − − → AC A B C D 4 3 6 −→ AB · − − → AD = 1 2  ||−→ AB + − − → AD ||2 −||−→ AB ||2 −||− − → AD ||2 = 1 2(AC2 −AB2 −AD2) = 11 2 2e définition : définition analytique Dans un repère orthonormé (O, ⃗ ı, ⃗ ) , le produit sca- laire de deux vecteurs ⃗ u  x y  et ⃗ v  x′ y′  est égal à : ⃗ u ·⃗ v =  x y  ·  x′ y′  = xx′ + yy′ −→ AB =  1 −2  − − → AC = −3 −1  1 2 1 2 3 −1 A B C O −→ AB · − − → AC =  1 −2  · −3 −1  =1(−3)+(−2)(−1)= −1 3e définition : définition projective Le produit scalaire de deux vecteurs ⃗ u et⃗ v est défini par : ⃗ u ·⃗ v = ||⃗ u|| × ||⃗ v|| × cos(⃗ u,⃗ v) −→ AB · − − → AC = AB × AC × cos [ BAC = 3 × 2 × cos 60˚ = 6 × 1 2 = 3 3 2 A B C 60˚ Remarque : −→ AB · − − → AC > 0 ⇔ [ BAC < 90˚ −→ AB · − − → AC < 0 ⇔ [ BAC > 90˚ Propriétés algébriques du produit scalaire • Commutativité : ∀⃗ u, ⃗ v ⃗ u ·⃗ v = ⃗ v · ⃗ u car cos(⃗ u,⃗ v) = cos(⃗ v,⃗ u) • Bilinéarité : ∀⃗ u, ⃗ v, ⃗ w et ∀a, b ∈R ⃗ u (⃗ v + ⃗ w) = ⃗ u ·⃗ v +⃗ u · ⃗ w et (a⃗ u) · (b⃗ v) = ab ×⃗ u ·⃗ v Le produit scalaire dans le plan Théorème de la projection Soit H la projeté orthogo- nal de C sur la droite (AB), on a alors : −→ AB · − − → AC = AB × AH A B C H Détecteur d’angle droit Pour tous vecteurs ⃗ u et ⃗ v non nuls : ⃗ u ·⃗ v = 0 ⇔      ⃗ u ⊥⃗ v ⃗ u et ⃗ v sont portés par des droites perpendiculaires Relation d’Al-Kashi Généralisation du théorème de Pythagore. a, b et c sont les lon- gueurs des côtés oppo- sés respectivement à A, B et C. On a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos b A A B C c a b Par permutation circulaire : • b2 = c2 + a2 −2ca cos b B • c2 = a2 + b2 −2ab cos b C a c b Quelques applications de la projection A B C −→ AB · − − → AC = AB2 A B C H −→ AB · − − → AC = 1 2 AB2 A B C D O −→ AB · − − → AC = −AB2 PAUL MILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 juillet 2018 à 11:52 PREMIÈRE S Théorème de la médiane (à savoir démontrer!) Soit I le milieu du segment [BC], alors pour tout point A du plan : AB2 + AC2 = 2AI2 + 1 2BC2 A B C I Démonstration AB2 + AC2 =(− → AI + − → IB )2 + (− → AI + − → IC )2 = AI2 + 2 × − → AI · − → IB + IB2 + AI2 + 2 × − → AI · − → IC + IC2 = 2AI2 + 2 × − → AI (− → IB + − → IC | {z } − → IB +− → IC =− → 0 ) + IB2 + IC2 | {z } IB=IC=BC 2 AB2 + AC2 = 2AI2 + BC2 2 Cercle et produit scalaire ( M ∈C de diamètre [AB] ⇔ (AMB est rectangle en M − − → MA · − − → MB = 0 b A B M On appelle C (Ω, r) le cercle de centre Ωet de rayon r. M  x y  ∈C (Ω, r) ⇔ ( ΩM2 = r2 (x −xΩ)2 + (y −yΩ)2 = r2 Méthode : savoir réduire une forme développée d’un cercle pour trouver ses éléments caractéristiques (centre et rayon). Soit le cercle C d’équation : x2 + y2 −x + 6y + 21 4 = 0 ⇔(x2 −x) + (y2 + 6y) + 21 4 = 0 ⇔  x −1 2 2 −1 4 + (y + 3)2 −9 + 21 4 = 0 ⇔  x −1 2 2 + (y + 3)2 = 4 C est un cercle de centre Ω 1 2 ; −3  et de rayon r = 2 Application du produit scalaire à la physique : travail d’une force Le travail d’une force est une des origines du produit scalaire en mathématique. Le travail uploads/S4/ resume-geom-reperee.pdf

Tags
Administrationdroite vecteur droites vecteurs équation
Documents similaires
  • 24
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager
  • Détails
  • Publié le Nov 29, 2022
  • Catégorie Law / Droit
  • Langue French
  • Taille du fichier 0.1744MB