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AVRIL 2018 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Écono

AVRIL 2018 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Économie CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES Exercice 1 Partie 1 1) Le tableau de variation de g n’est pas fait ici. Mais on montre que la fonction g est décroissante sur R- et croissante sur R+ en étudiant la dérivée de la fonction g. On montre également que la limite en +∞ et en ∞ est +∞ et que g(0) = 1. En examinant le comportement de g(x)/x en +∞ , on constate que la courbe de g admet une branche parabolique d’axe (Oy). En examinant le comportement de g(x)/x en ∞ , on constate que la courbe de g admet la droite d’équation y = -x pour asymptote oblique. 2) La question précédente montre que la fonction g est continue et strictement monotone sur R- . On a donc une bijection de R- sur l’intervalle 1, +∞ . Comme par hypothèse, n est supérieur ou égal à 2, l’équation (En) admet une unique solution strictement négative notée rn . Un raisonnement analogue sur R+ conclut que l’équation (En) admet une unique solution strictement positive notée t n Partie 2 Dans cette partie, on note (un) , n appartenant à l’ensemble des entiers naturels, la suite ainsi définie : { u0=1 pour k⩾1,uk+1=e uk2 1) Pour montrer que 2≤r2≤1 , il suffit de montrer que g(-1) est strictement inférieur à 2 et que g(-2) est strictement supérieur à 2 et utiliser la décroissance de la fonction g sur R-. On rappelle que g(r2)=2 2) Evident que e r22=r2 car g(r2)=2 .La récurrence n’est pas faite ici mais elle ne pose aucune difficulté (vraie au rang 0 du fait de la question précédente et passage du rang k au rang k+1 en utilisant le fait que la fonction exponentielle est croissante) 3) En utilisant l’inégalité des accroissements finis avec la fonction exponentielle sur l’intervalle ∞ , -1. On montre le résultat cherché : pour tous réels a et b tels que a≤b≤1 , 0≤e be a≤1 e (ba) 4) En utilisant la question 2, on montre que pour tout entier naturel k, uk +1r2=e uke r2 . On en déduit par récurrence que, pour tout entier naturel k, 0≤ukr2≤( 1 e ) k (récurrence non faite ici mais qui ne pose aucune difficulté) 5) En utilisant l’encadrement obtenu à la question précédente, on montre que la limite de ukr2 est nulle. Donc, la suite (un) , n appartenant à l’ensemble des entiers naturels, est convergente et de limite r2 1 Exercice 2 Partie 1 1) Les valeurs propres de A sont 0 et 1 2) Les vecteurs propres sont respectivement (1,0) et (1,1). La matrice P est : P=( 1 1 0 1) Partie 2 On note E l’ensemble des matrices carrées M=( x y z t) d’ordre deux telles que AM = MD 1) La matrice nulle d’ordre 2 appartient à E et si on choisit M et N deux éléments de E et k un réel, kM+N est un élément de E. On en déduit que E est un sous espace vectoriel de M 2(ℝ) 2) Evident 3) Evident en montrant que U et A forment une famille génératrice de E et que cette famille est libre 4) UA=( 0 1 0 0) Cette matrice n’est pas de la forme trouvée à la question 2, donc ce n’est pas un élément de E Partie 3 On note f : M 2(ℝ)→M2(ℝ) l’application définie, pour tout M appartenant à M 2(ℝ) , par : f (M) = AM – MD 1) Pour toutes matrices M et N de M 2(ℝ) et pour tout réel k, on montre que f (kM+N) = k f(M) + f(N) donc f est linéaire 2) Le noyau de f est E et sa dimension est donc 2 (question 3 de la partie 2) 3) D’après le théorème du rang, la dimension de l’image de f est 2 4) Les matrices M de M 2(ℝ) telles que f (M) = M sont de la forme ( x 0 x 0) . Il existe donc au moins une matrice non nulle, par exemple la matrice B=( 1 0 1 0) qui vérifie f (M) = M . Ceci montre que 1 est valeur propre de f. La dimension de l’espace propre associé est 1. Pour montrer que -1 est valeur propre de f, on procède de même en cherchant les matrices telles que f (M) = - M, on trouve qu’elles sont de la forme ( 0 y 0 0) . Il existe donc au moins une matrice non nulle, par exemple la matrice C=( 0 1 0 0) qui vérifie f (M) = - M . Ceci montre que -1 est valeur propre de f. La dimension de l’espace propre associé est 1. 2 5) D’après les questions précédentes, f admet trois valeurs propres : 0, 1 et -1 et la somme des dimensions des sous espaces vectoriels associés est de 4, c’est à dire la dimension de M 2(ℝ) . f est donc diagonalisable ? 6) On se place dans la base composée par (U, A, B, C), la matrice de f dans cette base est T=( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) En partant de cette matrice, on montre aisément que T3 = T , donc f o f o f = f Exercice 3 Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec une probabilité p, c’est l’information correcte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une probabilité 1-p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note pn la probabilité que l’information après n transmissions soit correcte. 1) On note In l’évènement « On note In l’évènement « l’information après n transmissions est correcte l’information après n transmissions est correcte ». D’après la formule des ». D’après la formule des probabilités totales, on sait que probabilités totales, on sait que P(I n+1)=P(I n+1∣I n)P(I n)+P(I n+1∣¯ I n) P( ¯ I n) On sait que On sait que P(I n+1∣I n)=p . On en déduit que . On en déduit que pn+1=(2 p1) pn+(1p) 2) La suite un est une suite géométrique de raison (2p-1), on en déduit que un = (2p-1)n u0 avec u0 = 1/2 3)On déduit que pn = 1/2 + 1/2(2p-1)n 4) On distingue 3 cas : Si p = 1, pn = 1 Si p = 0, p2n = 1 et p2n+1 = 0 Si p est compris en 0 et 1, la suite pn converge vers 1/2 Exercice 4 la fonction f s’écrit : f (x)=ln2+ln(1+x+x 2 2) . En posant u=x+x 2 2 et en utilisant le développement limité à l’ordre 3 de la fonction logarithme en 0 : ln(1+u)=uu 2 2+u 3 3+o(u 3) on obtient f (x)=ln2+xx 3 6+o(x 3) La courbe représentative de f admet donc au point (0,ln2) une tangente d’équation y = ln2 + x. De plus, f (x)(ln 2+x)=x 3 6+o(x 3) nous permet de dire que la courbe traverse sa tangente en (0,ln2) car cette différence est positive au voisinage de 0- et négative au voisinage de 0+ 3 1 AVRIL 2018 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Économie CORRIGE D’ÉCONOMIE Sujet 1 : Les marchés maximisent-ils le bien-être social ? Il s’agit d’une dissertation à propos de la microéconomie, avec une possibilité d’avoir une approche en termes d’histoire de la pensée économique. Peu importe la réponse défendue par les candidats, l’important est que la dissertation soit problématisée, et les arguments étayés par des éléments de théorie économique ou des exemples de faits économiques concrets. Éléments de réponse et proposition de corrigé : Introduction : (accroche) Sous le consensus de Washington (années 1990-2000), le FMI et la Banque Mondiale ont cherché à imposer des réformes libérales pour déréglementer les marchés des pays en développement. Mais libérer les marchés entraîne-t-il nécessairement l’augmentation de la satisfaction de la population ? (éléments d’histoire de la pensée) L’utilitarisme, qui est le fondement philosophique de l’économie néoclassique, remonte à Jeremy Bentham et le « felicific calculus » (calcul du bonheur). Le flambeau a été repris par John Stuart Mill. L’idée de maximisation a été introduite par les marginalistes en économie, révolution néoclassique avec sa théorie de la valeur-utilité (qui vient remplacer la théorie de la valeur-travail des classiques), qui vient mettre le bien-être (utilité) au centre de l’analyse. L’économie néoclassique reste le courant dominant au début du XXIè siècle, comme en témoigne par exemple le consensus de Washington cité plus haut. Néanmoins, les résultats contrastés de ces programmes amènent à mettre en question l’effet des libres marchés sur le bonheur social. (problématique) Sous quelles conditions les marchés maximisent-il le bien-être ? Ces conditions sont-elles généralement vérifiées ? Que peut faire l’État pour améliorer la situation ? L’utilité est-elle la bonne mesure du bien-être ? I) D’après la théorie néoclassique, le libre marché concurrentiel maximise le bien-être social A) Les théorèmes de l’économie du bien-être (éléments d’histoire de uploads/Finance/ 5be016f27e75ditsb-eco-2018-corrigs 1 .pdf