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PCSI2 N. Véron-LMB DEVOIR SURVEILLE N°8 18/04/15 Durée : 3h00-Calculatrice et t

PCSI2 N. Véron-LMB DEVOIR SURVEILLE N°8 18/04/15 Durée : 3h00-Calculatrice et téléphone portable interdits.  Rédiger les problèmes sur feuilles séparées.  Laisser une marge au correcteur, encadrer ou souligner vos résultats.  La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent en compte dans la notation. LE RESPECT DES CONSIGNES DE PRESENTATION RENTRE DANS L’EVALUATION. Questions de cours: 15 min  Déterminer la limite de n 1 n k 0 1 S n k       Donner le DL2n+1(0) de cos(x)  Donner le DL3(0) de f(x) = arctan(x). 1 x  Problème 1: Les polynômes de Laguerre. 1. Pour tout n, justifier que la fonction fn: x n x x e n!  est de classe C sur . 2. On définit alors pour tout n la fonction Ln:x x (n ) n e f (x) 2.a. Calculer, pour tout x, L0(x), L1(x), L2(x) 2.b. Montrer que n, x, Ln(x) = n k k k 0 n ( 1) x k! k      2.c. Justifier que Ln est une fonction polynômiale et préciser son degré ainsi que son terme dominant. Dans la suite on identifie la fonction Ln et le polynôme associé. 3.a. Montrer que n, x, f'n+1(x) = fn(x) – fn+1(x) 3.b. En déduire que n, L'n+1 = L'n - Ln 4.a. Montrer que n, x, fn+1(x) = n x f (x) n 1  4.b. En déduire que n , (n+1)Ln+1 = XL'n + (n + 1 - X)Ln 5. Montrer que Ln est solution d'une équation différentielle du 2nd ordre. Problème 2: Intégrales de Wallis et formule de Stirling On appelle intégrale de Wallis le réel In = n 2 0 sin tdt   où n Partie 1: Propriétés de la suite (In)n. 1.a. Calculer I0 et I1, puis justifier, à l’aide d’un changement de variable que : n, In = n 2 0 cos tdt   . b. Démontrer que n, 0 < In+1  In, puis que I converge vers ,   0. 2.a. En utilisant la formule d'intégration par parties, démontrer que : n, In+2 = n n 1 I n 2   . 2.b. En déduire que In+1  In. 3. Utiliser la question précédente pour démontrer l’une des deux égalités suivantes: uploads/Finance/ 8-polynome-de-laguerre.pdf