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Rappel mathématique 1) Terminologie et concepts Voici une fonction d’offre géné

Rappel mathématique 1) Terminologie et concepts Voici une fonction d’offre générale: Qo = - a + bP • • • • « a » et « b » sont les paramètres de la fonction « Q0 », la quantité offerte, représente la variable dépendante (ou endogène) « P », le prix, représente la variable indépendante (ou exogène) contrairement aux paramètres, les variables peuvent prendre un ensemble de valeurs Voici une fonction d’offre spécifique : Qo = -5 + 3P • • • • • • • • • les paramètres « a » et « b » ont pris ici une valeur spécifique « -5 » est une constante « 3 » représente la pente de la fonction (une droite) 2) Les fonctions Une fonction, telle que y = f(x), exprime une relation entre deux variables (x, y) telle que pour chaque valeur de x il n’existe qu’une seule valeur de y. fonction d’offre générale : Q0 = -a + bP fonction d’offre spécifique : Q0 = -5 + 3P fonction de demande générale : Qd = c - dP fonction de demande spécifique: Qd = 10 – 2P 3) Les fonctions inverses Étant donné une fonction, y = f(x), une fonction inverse, x = f-1(y), existe si à chaque valeur de y correspond une valeur unique de x. soit une fonction de demande : Qd = 10 – 2P en isolant P, nous pouvons trouver la fonction inverse : P = -Q/2 + 5 4) Graphiques et pentes Une fonction contenant une variable indépendante, y = f(x), peut être représentée dans un graphique à deux dimensions. On place la variable dépendante ( y ) sur l’axe vertical et la variable indépendante ( x ) sur l’axe horizontal. La pente d’une droite mesure le rapport entre la variation de la variable dépendante et la variation de la variable indépendante. • • • soit une fonction : y = 16 – 4x lorsque x augmente de 1, y diminue de 4. Alors, ∆y/∆x = -4/1 la pente de cette fonction est donc égale à -4 Voici quelques graphiques : fonction linéaire a x y y = a + bx 4 fonction linéaire 16 x y y = 16 – 4x fonction quadratique y = ax2 + bx + c a x y fonction quadratique a x y y = ax2 + bx + c 5) Solutions d’une équation Une équation linéaire à une inconnue peut être solutionnée en isolant la variable. Une équation quadratique de type ax2 + bx + c = 0 peut être solutionnée en utilisant la formule suivante : x1, x2 = −b± b2 −4ac 2a Considérons la fonction de profit suivante : π = -Q2 + 11Q –24 Si nous voulons savoir pour quel Q le profit est égal à zéro, nous utilisons la formule suivante : Q1,Q2 = −11± 112 −4(−1)(−24) 2(−1) Nous obtenons alors les valeurs suivantes : Q1 = 3 et Q2 = 8 6) Solutions d’équations simultanées Pour solutionner un ensemble d’équations simultanées, il faut que les équations soient (1) non-contradictoires, (2) indépendantes (elles ne sont pas un multiple l’une de l’autre), et (3) il doit y avoir au moins autant de variables que d’équations. • • deux équations contradictoires : x + y = 6 et x + y = 10 deux équations non indépendantes : 2x + 3y = 13 4x + 6y = 26 Méthode de substitution Supposons que les conditions d’équilibre de deux marchés, celui du beurre et de la margarine, soient données par les équations suivantes, où Pb représente le prix du beurre et Pm le prix de la margarine : 8Pb – 3Pm = 7 -Pb +7Pm = 19 (1) Choisissons une équation et isolons une variable : -Pb +7Pm = 19 Pb = 7Pm –19 (2) Substituons-la dans l’autre équation : 8(7Pm – 19) –3Pm = 7 56 Pm – 152 –3Pm = 7 53Pm = 159 Pm = 3 (3) Insérons Pm = 3 dans l’une ou l’autre des équations de départ et nous obtenons Pb: 8Pb –3(3) = 7 8Pb = 16 Pb = 2 Méthode de l’élimination Il s’agit de multiplier une des deux équations, parfois les deux équations, par un coefficient de sorte que l’on pourra éliminer une variable. Reprenons les équations plus haut : 8Pb – 3Pm = 7 -Pb +7Pm = 19 Multiplions la première par 7 et la seconde par 3 : 7(8Pb – 3Pm = 7) 3(-Pb +7Pm = 19) Nous obtenons alors deux équations que nous pouvons additionner : 56Pb – 21Pm = 49 -3Pb +21Pm = 57 53Pb = 106 Il s’ensuit que Pb = 2 On substitue alors Pb = 2 dans l’une des deux équations d’origine et on trouve que Pm = 3 7) Problèmes 7.1) Le coûts fixe total (CFT) d’une firme est de $600, quelle que soit la production. Son coût variable total (CVT) est de 5$ par unité produite. Elle vend son produit 10$ (P = 10) l’unité. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Identifiez sa fonction de coût fixe total Identifiez sa fonction de coût variable total Identifiez sa fonction de coût total (CT = CFT + CVT) Identifiez sa fonction de recettes totales (RT = PQ) Trouvez la quantité qui égalise ses recettes totales et ses coût totaux 7.2) Trouvez la fonction inverse de Qd = 75 – 15P Qd = 420 – 30P Qo = -20 + 3P 7.3) Représentez graphiquement les fonctions inverses trouvées en 7.2) 7.4) Solutionnez les ensembles d’équations suivants : 2x – 4y = -24 et 9x – 3y = -3 2x – 4y = -8 et 6y –3x = 24 7.5) Équations quadratiques Si l’équation de profit est π = -Q2 + 17Q –42, quel Q assure que π = 0? Si l’équation de profit est π = -Q2 + 16Q –38, quel Q assure que π = 25? 7.6) Trouvez le prix et la quantité d’équilibre sur chacun des marchés suivants : Qo = -20 + 3P Qd = 220 – 5P Qo = -45 + 8P Qd = 125 – 2P Qo + 32 –7P = 0 Qd – 128 +9P = 0 13P – Qo = 27 Qd + 4P –24 = 0 7.7) Soit l’équation de demande pour un bien: Qd = -30P + 0.05R +2Ps + 4G où R représente le revenu, Ps le prix des substituts et G les goûts. Représentez cette courbe si R = 5000, Ps = 25 et G = 30 Qu’arrive-t-il à la courbe si le prix du bien représenté passe de 5 à 6? Qu’arrive-t-il à la courbe si le revenu augmente à 7400? 7’) Solutions 7.1) Les coûts et les recettes d’une firme • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Son coût fixe total : CFT = 600 Son coût variable total : CVT = 5Q Son coût total : CT = 600 + 5Q Ses recettes totales : RT = PQ = 10Q La quantité égalisant les RT et les CT : 10Q = 600 + 5Q on a Q = 120 7.2) La fonction inverse P = 5 – 1/15Qd P = 14 – 1/30Qd P = 20/3 + 1/3Qo 7.3) Appliquez-vous! 7.4) Équations simultanées x = 2 y = 7 aucune solution! 7.5) Équations quadratiques Q = 14 et 3 Q = 9 et 7 7.6) Équilibre de marché P = 30 Qd = 70 = Qo P = 17 Qd = 91 = Qo P = 10 Qd = 38 = Qo P = 3 Qd = 12 = Qo 7.7) La demande d’un bien L’équation devient : Qd = -30P + 0.05(5000) + 2(25) +4(30) = -30P + 420 (on dessine une droite à pente négative!) Si rien ne change sauf le prix du bien, la courbe ne se déplace pas. On se déplace simplement le long de la courbe Si le revenu augmente, la demande se déplace parallèlement vers la droite. L’équation devient alors: Qd = -30P + 540 8) Pentes et dérivées Pour une fonction linéaire, le taux de variation (∆y/∆x) est constant et est égal à la pente. Pour une fonction non-linéaire (quadratique par exemple) le taux de variation n’est pas constant le long de la courbe. Il diffère à chaque point de la courbe. C’est donc dire que la pente d’une fonction non-linéaire change à chaque point de la courbe. Cette pente est égale à la pente de la tangente à ce point. 2 2 1 1 x y x 1 1 3 1 y Fonction linéaire Ex. : y = 2x Le taux de variation, ∆y/∆x, est constant le long de la courbe La pente = 2 Si x augmente de 1, y augmente de 2 Fonction non-linéaire Le taux de variation, ∆y/∆x, change à tous les points de la courbe La pente change à tous les points de la courbe Si x augmente de 1, uploads/Finance/ rappel-math 1 .pdf