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CHAPITRE TROIS LE MODELE SIMPLIFIE DE W.SHARPE OU MODELE DE MARCHE 1- LE MODELE

CHAPITRE TROIS LE MODELE SIMPLIFIE DE W.SHARPE OU MODELE DE MARCHE 1- LE MODELE A UN INDICE : L’utilisation du modèle de Markowitz [1959] soulevait de nombreux problèmes dès qu’il s’agissait de calculer un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes en probabilité étaient de 2 ordres : 1°/ L’ampleur de la matrice des variances-covariances demandait à l’époque une calculatrice de grande capacité et un temps de calcul assez long. Ainsi, pour résoudre un problème relatif à un portefeuille de 100 titres il fallait 33 minutes sur un matériel IBM 7090. Les capacités-mémoire de ce même équipement étaient saturées par la résolution d’un problème à 249 titres. 2°/ L’utilisation du modèle de base demandait que l’on connaisse la matrice variance covariance. Il fallait demander à l’analyste financier d’estimer la corrélation des rendements pour chaque paire de valeur, ce qui, pour un portefeuille de 100 valeurs, représente 4950 estimations à fournir : p) - (n p n Cp n = (corrélation) en plus des valeurs estimes de l’espérance de la variance de la distribution de probabilité des taux de rendement par chacune des valeurs. Au total, 5150 données doivent être rassemblées. Pour résoudre ces difficultés, SHARPE a proposé un modèle dans lequel les covariances des titres sont remplacées par la liaison du taux de rentabilité de chaque action avec un indice de marché ; ce modèle est appelé modèle de marché. En effet, W.SHARPE, [1963] a proposé une solution dont les caractéristiques essentielles consiste à faire l’hypothèse que les rendements des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent. Le rendement de chaque valeur est dès lors considéré comme déterminé uniquement par ce seul facteur exogène, tous les autres facteurs capables d’induire les variations des rendements étant strictement aléatoires. Cette hypothèse purement empirique appelée « modèle à un indice (« simple index modèl ») ou modèle uni factoriel » a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été à la base de la théorie de la formation des prix des actifs financiers dans un univers incertain. L’hypothèse de SHARPE, peut être formalisée par le modèle de régression linéaire simple : i i i i R I u   = + + (3.1) où Ri : rendement du titre i , i i   : des estimateurs linéaires non biaisés des paramètres propres à ce titre i. I : le niveau d’un indice économique donné (indice boursier, indice du PNB indice des prix……). i u : V.A, caractérisée par les hypothèses suivantes : ( ) 0 u E - H i 1 =  ( ) 0 u - H i 2 2 =   (variance constance : Homoscédasticité) ( ) 0 u , u - H j i 3 =   toutes les covariances sont nulles. ( ) k 0 k t , u , u - H i t , i 4  = +   : Absence d’auto-correlation des termes résiduels, laquelle implique que le modèle soit correctement spécifié (aucun autre facteur n’a une influence systématique sur le Ri et donc que ( ) 0 I , u t t i =  . Quant au niveau de l’indice I, il est définit par la relation 1 n 1 n u I + + + = (3.2) où : 1 n +  : un paramètre 1 n u + : V.A. caractérisée par ( ) 0 u E - H5 1 n =  + ( ) 1 n 1 n 2 Q u - H6 + + =   (variance constante). 2- LE MODELE DIAGONAL : Conditionnellement à la validité du modèle à un indice comme structure explicative des rendements observés, il est possible de construire une version simplifiée du modèle de Harry Markowitz. Soit i N 1 i i P R X R  = = (3.3) Le rendement (moyen pondéré) du portefeuille où ( ) i i i i i i u I X R X + + =   (3.4) est la contribution du titre i au rendement du portefeuille. Cette contribution peut être divisée en 2 composantes : (1) ( ) i i i u X +  : constante spécifique du rendement ou interviennent que les facteurs propres à i. (2) I X i i  : Composante systématique du rendement ou liaison stable de celui-ci via le coefficient de régression i . Il s’ensuit que le rendement du portefeuille peut être considéré comme le résultat d’une série d’investissements dans les « caractéristiques de base » des tires et d’un investissement dans l’indice. Ce qui par substitution de (3.4) dans (3.3), donne : ( ) I X u X R i N 1 i i i i N 1 i i P       + + =   = =   (3.5) Si l’on pose i N 1 i i 1 n X X   = + = , il vient ( ) ( ) u X u X R 1 n 1 n 1 n i i N 1 i i P + + + = + + + =   ( ) i i N 1 i i P u X R + = =  (3.6) L’indice du marché est donc introduit dans le portefeuille comme une (n+1) ème valeur. Les deux caractéristiques essentielles de ce portefeuille sont : ( ) u X E R i i 1 N 1 i i P       + =  + =  u X X E i 1 N 1 i i i 1 N 1 i i       + =   + = + =  ( ) ( ) 0 u E car u E X X i i 1 N 1 i i i 1 N 1 i i = + =   + = + =  ( ) i 1 N 1 i i P X R E   + = = (3.7) ( ) ( ) u X R i i 1 N 1 i i 2 P 2       + =  + =          +       =   + = + = 1 N 1 i i i 2 1 N 1 i i i 2 u X X      =       = + = 0 X.A Car u X 2 1 N 1 i i i 2   (terme constant et non V.A). ( ) ( ) u , u X X u X j i j 1 N 1 i i 1 n 1 j i 2 1 N 1 i 2 i     + = + = + = + = i = j cov = 0 ( ) ( ) u X R V i 2 1 N 1 i 2 i P   + = = ( ) Q X R V i 1 N 1 i 2 i P  + = = (3.8) La matrice des covariances est donc réduite à une matrice diagonale, composée uniquement de variances.                       +1 N N 3 2 1 Q 0 0 0 Q Q Q 0 0 0 0 Q           De là provient l’appellation de « modèle diagonale ». Souvent donnée au modèle de Sharpe en raison de cette propriété de la matrice modifiée des covariances, qui réduit considérablement la masse des calculs nécessaires à la construction de la frontière efficiente. 3- LE MODELE DE MARCHE : Proposé par Sharpe [1963] , le modèle de marché permet de caractériser le risque d’une entreprise par un coefficient dénommé coefficient Beta . A/ LE DEVELOPPEMENT DU MODELE : En 1963, Sharpe proposa une première version connue sous le nom de modèle diagonal, puis en 1967, une version améliorée dénommée modèle linéaire. 3.1. Le modèle diagonal : Au lieu d’utiliser la matrice des covariances, le taux de rentabilité de chaque valeur est relié à l’indice de rentabilité du marché. On calcule le taux de rentabilité de chaque titre et celui du marché en général. Le taux de rendement, d’une valeur est défini par la formule générale : ( ) 1 - t t 1 - t t t P D P P R + − = (3.9) dans laquelle Rt représente le taux de rentabilité à l’instant t Dt Dividende à l’instant t Pt Le cours du titre à l’instant t Pt-1 Le cours du titre à l’instant t-1. Si l’on désigne par , la rentabilité du marché à l’instant t, par analogie avec la rentabilité d’une action on uploads/Finance/ chapitre-3-le-modele-simplifie-de-w-sharpe-ou-modele-de-marche.pdf