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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique UNIVERSITE M’HAMED BOUGUERRA, BOUMERDES FACULTE DES HYDROCARBURES ET DE LA CHIMIE Filière : 2ème année Licence Note de cours Module : Mathématiques 3 Réalisé. Par : Dr. K. Benalia E.mail :k.benalia@univ-boumerdes.dz  Séries numériques et les applications en Intégrales  Suites et séries de fonctions  Applications de séries de fonction pour la résolution d’Equations différentielles  Les séries Fourier et applications  Transformations de Fourier et applications  Transformation de la place et applications Année universitaire 2020-2021 Ce fascicule est un support au cours Mathématique 3 en deuxième année d’une Licence des Hydrocarbures et de la chimie. Il aborde : les séries numériques et applications pour les intégrales, les suites et séries des fonctions et ses applications pour la résolution des équations différentielles, les séries de Fourier, transformation de Fourier et la transformation de la place. Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques 1(les suites numérique, Analyse mathématique des fonctions réelles d’une variable réelle et Algèbre Linéaire) et mathématique 2 (les intégrale , les équations différentielle) de la première année de Licence. L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement. Sommaire i 1 CHAPITRE I Les Séries numériques et applications Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021  Introduction et problématique  Définition d’une série  Formulation de l’intégrale par une série (série de Riemann)  Exemple d’application  Les principaux types de la série  Convergence d’une série Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 I.1. Introduction et problématique  Pourquoi un cours de mathématique et à quoi cela sert-il ? Chaque problème qu’un être humain rencontre ne peut être suffisamment simple pour être compris sans avoir recours à un concept, idée ou notion. L’idée consiste à remplacer le phénomène qu’on étudie par un modèle de structure semblable, mais un peu moins complexe. Par conséquent les modèles sont une nécessité fondamentale de la démarche scientifique. Cependant dans la pratique trouvée un modèle mathématique qui convienne à un problème donné n’est pas une tâche des plus faciles. L’idéal est de pouvoir prendre en charge les contraintes de problème réel et pouvoir les exprimer sous forme mathématique d’une manière adéquate et simple. Dans la suite de notre travail on s'intéresse à des modèles mathématiques analytiques qui expriment des problèmes concrets.  Problème posé : La démarche à suivre pour résoudre un problème concret peut être organisé comme suite (Figure I.1.). Figure I.1. Démarche à suivre pour résoudre un problème. La modélisation d'un problème réel (concret) utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme, acoustique, etc.), ces lois sont, généralement, écrites sous la forme de bilans qui se traduisent mathématiquement par des intégrales, Equations Différentielles Ordinaires ou par des équations aux Dérivées Partielles,…etc. Les Mathématique 3, interviennent aussi dans beaucoup d'autres domaines : en chimie pour modéliser les réactions, en économie pour étudier le comportement des marchés et en finance pour étudier les produits dérivées (options et obligations). Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 I.2. Définition d’une série I.3. Formulation de l’intégrale par une série (série de Riemann) I.3.1. Le principe de Riemann: Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 0. On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f, l’axe Ox, les droites x = a, x = b, puis lui associer un nombre réel noté S appelé aire de la surface Idée de Riemann : En subdivisant I = [a, b] en n sous intervalles   1, i i x x  de même longueur b a x n   . On définit l’intégrale de f sur   , a b par :      1 1 1 lim ( ). , avec lim e 0, , b n n i i i n i i i i i a s f x dx f a x x a x x             Figure I.2. Integrale de Riemann. Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Donc en conclusion, l’intégrale est une suite de somme (une série) I.3.2. Exemple d’application (Moment d’inertie d’un cylindre homogène): Exercice 1 (TD1) : En utilisant le principe de Riemann : Déterminer le moment d’inertie d’un cylindre homogène de masse volumique , de rayon R et de hauteur h par rapport à son axe. Solution : Par définition le moment d’inertie I, par rapport à son axe  , d’un point matériel de masse m située à une distance r de   est donné par : 2 . I m r  Un système de N points matériels de masse i m et de distance i r , aura pour le moment d’inertie : 2 . N i i i I m r  Dans notre cas, il s’agit d’un corps solide constitué d’une infinité de point matériels. Pour cela on subdivise en N la masse i m , on aura : 2 2 lim . N N i i i I m r r dm       Figure I.3. Cylindre homogène On sait que la masse 2 . ( ) . . . ( . . .2 ) m V volume h r dm h r dr          D’où   2 3 4 2 2 0 1 1 2 . car la masse du cylindre 2 2 R I r dm h r dr h R M R M h R           I.4. Les principaux types de la série Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série exponentielle. 1-Série géométrique : Le terme général d’une série géométrique est n n u r  Les sommes partielles ont une expression explicite. Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 2-Série exponentielle : Le terme général de la série exponentielle est 1 ! n u n  , où n! (factorielle) désigne le produit des entiers de 1 à n. Par convention, 0! = 1. Les sommes partielles sn sont des rationnels mais n’ont pas d’expression explicite. Exercice 2 (TD3) : En utilisant la formule de Tylor en DL : La somme de la série exponentielle est le nombre e, dont le logarithme népérien vaut 1. Solution : Prenons la fonction  x f x e  continue et dérivable sur R. On applique alors la formule de Taylor en négligeant le reste Rn de Taylor au voisinage de 0.    0 0 ! n n n n f x f x R x n      Alors : 0 0 1 ! ! n x n n x e e n n          Deuxième méthode (voir le TD) Remarque : Observons que n’importe quelle suite   n n S  peut être vue comme une série, de terme général un = Sn − Sn−1, pour n > 1 et u0 = S0. Dans la plupart des cas, les sommes partielles n’ont pas d’expression explicite, et c’est souvent pour cela que l’on parle de série plutôt que de suite. Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 I.5. Convergence d’une série I.5.1. Définitions I.5.2. Exemples : Exemple 1 : Le réel 1 2 0, ... .... n x a a a  est la limite de ses approximations décimales, et aussi la somme de la série 0 10 n n a   Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4. (Exercice TD) Monter par calcul numérique que : Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 I.2.6. Séries à termes positifs ou nuls Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 Chapitre I. Séances N°1 et 2 / du 26/12/2020 au 02/01/2021 uploads/Finance/ chapitre-i 1 .pdf