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Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de M

Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie Probabilité, Espérance, Variance CHOIX OPTIMAL DE PORTEFEUILLE 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Caracteristiques du rendement des portefeuilles Ecart type du rendement Moyenne du rendement Bernard Lapeyre http://cermics.enpc.fr/~bl Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 1 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PLAN 1 Fonctionnement 2 Rendement d’un actif 3 Rappels 4 Choix de portefeuille: théorie de Markowitz 5 (bio et biblio)graphie Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 2 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie FONCTIONNEMENT DU COURS ◮Site du cours http://cermics.enpc.fr/~bl/decision-incertain ◮6 séances : 1h de cours, 1h30 de TP informatique ◮une conférence qui remplace le dernier cours (le 14 mars) ◮Enseignants : - Oumaïma Beincheikh (oumaima.bencheikh@enpc.fr) - Jean-Philippe Chancelier (jean-philippe.chancelier@enpc.fr) - Adel Cherchali (cherchaliadel@gmail.com) - Bernard Lapeyre (bernard.lapeyre@enpc.fr) - Sophian Mehalla (Sophian.Mehalla@milliman.com) ◮Language de programmation: Python. ◮[Scicoslab (Matlab clone) possible si souhaité.] Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 3 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie ORGANISATION ET RÈGLES DE VALIDATION Organisation ◮une semaine entre le cours et le TD correspondant ... ◮... pour: lire le cours, faire les exos, préparer le TP info ◮une feuille d’exos par séance disponible sur le site Évaluation ◮présence vériﬁée en cours et en TD ◮pas de contrôle formel à l’issue du module ◮... sauf si plus d’une absence constatée (examen dans ce cas) ◮rendu (individuel) de l’un des 5 TP informatiques rédigé en détails (L AT EX suggéré). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 4 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie OBJET DU COURS ◮Exposer des situations où la modélisation probabiliste est utile/indispensable pour prendre des décisions. ◮Décrire un outil nouveau (les chaînes de Markov) et montrer comment cet outil peut être utilisé de façon effective. ◮Implémenter les méthodes mathématiques proposées. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 5 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie AUJOURD’HUI ... ◮Des rappels de probabilité (espérance, variance, ...) ◮Théorie du portefeuille de Markowitz. ◮Pourquoi des actifs (actions,...) ayant des rendements aux caractéristiques diverses peuvent ils coexister ? ◮Comment s’y prendre pour optimiser un portefeuille d’actif ? Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 6 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie LE RENDEMENT D’UN ACTIF ◮Actif i (action, obligation, ...) de rendement Ri ◮Rendement = sur une période de temps donnée T: 1E à l’instant 0 va rapporter (1 + Ri)E en T. ◮Plusieurs actifs (ex CAC40 i = 1 . . . 40), vecteur de rendement R = (R1, . . . , Rn). ◮Rendements déterministes et un marché où l’on peut acheter et vendre ces actifs, tous les Ri doivent être égaux. ◮Mais c’est un fait d’expérience que les rendements des actifs n’ont pas des caractéristiques identiques: il est nécessaire de les supposer aléatoires: “Risk is not an add-on”1... ◮ce qui nous amène à quelques rappels de probabilité ... 1Voir R.C.Merton interviewed in [Bernstein(2007)]. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 7 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PROBABILITÉ ET ESPÉRANCE : RAPPELS ◮Description d’un expérience aléatoire : une probabilité, sur (Ω, A), P qui opère sur des ensembles de A. ◮A ∈A, 0 ≤P(A) ≤1 et P(Ω) = 1. P i≥1 Ai signiﬁe une réunion dénombrable et disjointe. P  X i≥1 Ai  = X i≥1 P(Ai) ◮À une probabilité P est associée une espérance E (qui opère sur des variables aléatoires à valeurs dans R) ◮E(1A) = P(A). ◮linéarité (X et Y positifs ou intégrables, Xi positifs). E(λX + µY) = λE(X) + µE(Y) E  X i≥1 Xi  = X i≥1 E(Xi) Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 8 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie ESPÉRANCE ET VARIANCE ◮L’espérance est linéaire. ◮Variance : Var(X) := E n (X −E(X))2o = E(X2) −E(X)2. ◮Var(X) = 0 implique X = Cte (p.s.). ◮Covariance : Cov(X, Y) = E {(X −E(X)) (Y −E(Y))} = E(XY) −E(X)E(Y). ◮La linéarité de l’espérance permet de prouver Var n X i=1 λiXi ! = n X i=1 n X j=1 λiλjCov(Xi, Xj) ◮La variance fonctionne comme une forme quadratique, la covariance comme une forme bilinéaire. ◮Cas particulier : si indépendance des Xi, Cov(Xi, Xj) = 0, i ̸= j Var n X i=1 Xi ! = n X i=1 Var(Xi). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 9 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie VECTEUR ET MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE ◮X = (X1, . . . , Xn) un vecteur de Rn. Γ matrice de variance-covariance de X Γ = Cov(Xi, Xj) 1≤i,j≤n ◮Permet de calculer Var Pn i=1 λiXi Var n X i=1 λiXi ! = λTΓλ = n X i=1 n X j=1 λiλjΓij. ◮Γ est une matrice symétrique, positive (λTΓλ ≥0, pour tout λ). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 10 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie ESPÉRANCE ET VARIANCE COMME CRITÈRES DE DÉCISION ◮Comment choisir entre 2 v.a. X et Y dont on ne connait que la loi ? ◮On utilise (souvent) l’espérance et la variance comme critère de choix (plus l’espérance est grande ou plus la variance est petite, “meilleure” est la v.a.). ◮C’est discutable 2, mais c’est l’approche la plus simple, bien justiﬁée dans le cas (restrictif) d’un vecteur gaussien. ◮Des “mesures de risque” mieux fondées (Voir [Föllmer and Schied(2008)]) existent et sont aussi utilisées : “value at risk”, “expected shortfall”, ... ◮... au prix toutefois d’une complexité accrue de la modélisation et/ou des calculs. 2On peut avoir P(X ≤Y) = 1, sans que X et Y soient comparables pour l’ordre partiel suggéré (voir la feuille d’exercice pour un exemple). Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 11 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PORTEFEUILLE DE MARKOWITZ : LE MODÈLE ◮d actifs (actions, obligations, ...). Ri le rendement, aléatoires, du ième actif. 1E en actif i en 0 →(1 + Ri)E en T. ◮R = (R1, . . . , Rd) le vecteur, aléatoire, des rendements ◮r = (E(R1), . . . , E(Rd)), le vecteur des moyennes des rendements, par convention on suppose r1 ≤r2 ≤· · · ≤rd. ◮Γ la matrice de variance-covariance de R. σ2 i = Var(Xi) = Γii. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 12 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PORTEFEUILLE DE MARKOWITZ : LES PORTEFEUILLES ◮On va considérer des portefeuilles, composés de quantités d’actifs λi, de valeur initiale V0 égale (par convention) à 1E V0 = d X i=1 λi = 1, VT = d X i=1 λi(1 + Ri) = 1 + d X i=1 λiRi. ◮Souvent 0 ≤λi ≤1. Mais dans certains cas on acceptera des quantités négatives pour λi (emprunt d’actif). ◮Le gain du portefeuille est égal à G = VT −V0 G = d X i=1 λiRi ◮La moyenne et la variance de G se calcule facilement E(G) = λ.r Var(G) = λTΓλ en fonction de r et Γ. On va comparer les portefeuilles grâce à ces deux valeurs. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 13 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PORTEFEUILLE DE MARKOWITZ : LES 2 CRITÈRES ◮L’hypothèse de base du modèle est que l’investisseur va classer les portefeuilles en utilisant la moyenne et l’écart-type (= la racine de la variance) du gain. ◮Un portefeuille de moyenne inférieure et de variance supérieure ne sera jamais choisi par un investisseur rationnel (c’est réaliste, mais ça reste une hypothèse). ◮On déﬁnit un ordre partiel sur les portefeuilles : G1 préférable à G2, ssi E(G1) ≥E(G2) et Var(G1) ≤Var(G2). ◮On suppose que les actifs de base ne sont pas comparables pour cet ordre partiel, ce qui impose 0 < σ1 ≤σ2 ≤· · · ≤σd. Bernard Lapeyre (Ecole des Ponts) Jeudi 31 janvier 2019 14 / 31 Fonctionnement Rendement d’un actif Rappels Choix de portefeuille: théorie de Markowitz Compléments algorithmiques (bio et biblio)graphie PORTEFEUILLE DE MARKOWITZ : FRONTIÈRE EFFICIENTE ◮On s’intéresse aux portefeuilles “non dominés” (maximaux pour l’ordre partiel) : ceux sont les seuls susceptibles d’être utilisé par un uploads/Finance/ cours-1.pdf