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HAL Id: hal-00584006 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00584006 Submitted on 7 Apr 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Emprunts : mensualités, intérêt, taux, TEG, risque de taux Claude Danthony To cite this version: Claude Danthony. Emprunts : mensualités, intérêt, taux, TEG, risque de taux. Images des Math- ématiques, CNRS, 2009, http://images.math.cnrs.fr/Emprunts-mensualites-interet-taux.html. hal- 00584006 To print higher-resolution math symbols, click the Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel. I Emprunts : mensualités, intérêt, taux, TEG, risque de taux Ou comment impressionner son banquier Le 16 septembre 2009, par Claude Danthony Maître de conférences à l'École Normale supérieure de Lyon (page web) Lorsque l’on sollicite un banquier pour un prêt, le conseiller tapote sur son ordinateur et fournit des chiffres : un taux d’intérêt et une mensualité entre autres. Ces nombres paraissent bien mystérieux. Voyons quelles sont les équations (pas toutes compliquées à résoudre) qui sont derrière cela. On utilisera les mêmes principes pour estimer le risque de taux présenté par un emprunt obligataire. 1/ La mensualité constante du prêt à taux ﬁxe MAGINONS que vous souhaitiez emprunter à votre banque un certain capital, appelons-le C (par exemple 150 000€) sur une certaine période, exprimée en mois car les remboursements seront mensuels. Appelons N ce nombre de mois de remboursement (par exemple 20 ans, soit 240 mois). Votre banquier vous fera une proposition de taux d’intérêt (en avril 2009 par exemple 0 % par mois). L’ordinateur du banquier vous indiquera alors que dans ces conditions, vous aurez à verser chaque mois une mensualité M (dans notre exemple, M 73 4€). Et peut-être vous donnera-t-il le montant total des intérêts versés sur la durée (ici 83 624 9€). D’où sort donc cette mensualité M qui vous intéresse tant, puisque c’est ce que vous devrez payer chaque mois ? Comprenons le principe d’un tel prêt. Chaque mois vous versez une mensualité constante que l’on va chercher à déterminer, on la considère pour le moment comme une inconnue. Cette mensualité sert d’abord à vous « mettre à jour » avec la banque en lui versant la rétribution due ce mois-là pour la somme que vous restiez lui devoir depuis le mois précédent. Une fois « quitte » avec la rétribution de la banque, le reste de la mensualité sert à rembourser une partie du capital prêté (qui diminue ainsi progressivement, on parle de prêt à amortissement progressif). Tout cela est calculé pour que vous ayez remboursé la totalité à la mensualité N. C’est pour cela que ce qui est important, c’est le taux d’intérêt par période (le mois en général), c’est-à-dire le montant que votre banque réclame pour vous prêter un euro pendant un mois (ﬁxe sur toute la durée du prêt ici). Appelons ce taux t et entrons dans le calcul. 0 4 = 9 4 6 À l’origine, la banque vous prête C . Un mois plus tard, vous versez M. Cette somme sert avant tout à rétribuer la banque pour vous avoir prêté C sur un mois, vous lui versez donc un intérêt I . Le reste de la mensualité, soit M , sert à rembourser la banque. Après quoi vous ne lui serez donc plus redevable que de : C M ) M C )) (1 ) (Vous remarquerez que par principe on veut rembourser un peu de capital, la mensualité doit donc être supérieure à l’intérêt, c’est-à-dire que M ) Le deuxième mois, vous versez encore M, dont une part rétribue la banque par un intérêt I , vous remboursez M de capital et ne devez donc plus à la banque que : C M ) (1 ) C (1 ) )(1 ) (1 ) (1 ) Le troisième mois, vous versez encore M, dont une part rétribue la banque par un intérêt I , vous remboursez M de capital et ne devez donc plus à la banque que : C M ) (1 ) C (1 ) (1 ) )(1 ) (1 ) (1 ) Et ainsi de suite. Le i-ème mois, vous payez un intérêt I et vous remboursez M , il reste une dette de C (1 ) En continuant le processus, on trouve C (1 ) (1 ) (1 ) (détails de la preuve ici) Pour montrer rigoureusement la formule, il faut utiliser le principe de récurrence. Si une propriété ou une égalité faisant intervenir un entier i est vraie pour i et si l’on sait montrer que dès lors qu’elle est vraie pour i , alors elle est vraie aussi pour i ; l’on peut afﬁrmer qu’elle est vraie pour tout i. Ici, on a vu que l’égalité plus haut est vraie pour i . Et si Alors, comme C (1 ) , on trouve et donc on a bien Et en inversant l’ordre des termes dans la somme entre crochets (habitude de matheux) : On apprend dans certaines classes de lycée comment se calcule une somme de puissances d’un nombre, faisons ce calcul. Si 0 0 1 = C0 t −I1 1 = C0 −( −I1 = C0 −( −( 0 t = C0 + t −M C0 t 2 = C1 t −I2 2 = C1 −( −I2 = C1 + t −M = ( 0 + t −M + t −M = C0 + t 2 −M + t −M 3 = C2 t −I3 3 = C2 −( −I3 = C2 + t −M = ( 0 + t 2 −M + t −M + t −M = C0 + t 3 −M + t 2 i = Ci−1 t −Ii i = Ci−1 + t −M i = C0 + t i −M + t i−1 −M + t i−2 − −M = (1 ) C0 + t i −M (1 ) 1 ) 1 ) + t i−1 + ( + t i−2 + + ( + t + 1 = 0 −1 = 0 1 2 3 C C (1 ) i−1 = 0 + t i−1 −M (1 ) 1 ) 1 ) + t i−2 + ( + t i−3 + + ( + t + 1 i = Ci−1 + t −M C 1 ) M i = C (1 ) 0 + t i−1 −M (1 ) 1 ) 1 ) + t i−2 + ( + t i−3 + + ( + t + 1 ( + t − C C (1 ) i = 0 + t i −M (1 ) 1 ) 1 ) + t i−1 + ( + t i−2 + + ( + t + 1 C C (1 ) i = 0 + t i −M 1 1 ) 1 ) 1 ) + ( + t + ( + t 2 + + ( + t i−1 S 1 ) 1 ) 1 ) alors en multipliant par (1 ) (1 )S 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) En enlevant la première équation à la seconde, beaucoup de termes s’annulent et il vient (1 )S S 1 ) . D’où S et C (1 ) Revenons au principe de notre prêt, nous devons le rembourser en N mois, on veut donc : C 0 C (1 ) ce que l’on peut encore écrire Voilà donc l’équation qui régit les prêts à taux ﬁxe mensualité constante (et amortissement progressif). Si l’on connaît C t N , on trouve la mensualité car l’équation se résout exactement : Muni d’une calculatrice qui traite les puissances, vous voilà en mesure de calculer une mensualité [1]. C’est votre banquier qui va être surpris ! Vous pouvez d’ailleurs vériﬁer que dans l’exemple plus haut, la mensualité est bien celle qui a été annoncée : 973 362 Remarque : On est parfois surpris de constater, en recevant son « tableau d’amortissement », que l’on rembourse au début beaucoup d’intérêt et peu de principal. Vu le principe de ces prêts, c’est normal, puisque chaque mois, on paye l’intérêt sur la somme que l’on devait encore le mois précédent, très forte au début et faible à la ﬁn. En reprenant l’exemple ci-dessus, un emprunt de 150 000€ à un taux de 0 % par mois sur 240 mois, j’ai reproduit dans le tableau plus bas la décomposition de la première mensualité de chaque année en principal et intérêts. Si le taux était plus élevé, par exemple 0 % par mois, on aurait la répartition suivante, pour une mensualité de = 1 + ( + t + ( + t 2 + + ( + t i−1 + t + t = ( + t + ( + t 2 uploads/Finance/ emprunts-mensualita-s-inta-ra-t-taux-teg-risque-de-taux-images-des-matha-matiques.pdf