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ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJ

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2009 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants. Sujet n° 1 En quoi l'accès à l'eau est-il considéré comme un enjeu majeur pour les décennies à venir ? Sujet n° 2 Évoquant l'une de ses œuvres, Den Muso (la jeune fille), réalisée en 1975, le cinéaste malien Souleymane Cissé explique : «J'ai voulu mon héroïne muette pour symboliser une évidence : chez nous, les femmes n'ont pas la parole...». Commentez. Sujet n° 3 «Les graines d’un vieillissement en bonne santé se sèment tôt» a déclaré Kofi Annan, alors secrétaire général de l’ONU, lors d’un discours à l’Assemblée mondiale sur le vieillissement en 2001. Qu’a voulu dire l’auteur ? Développez en vous appuyant sur des exemples précis. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2009 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 4 heures) L’épreuve est composée d’un exercice et d’un problème indépendants, qui peuvent être traités dans un ordre quelconque. Exercice : Soit θ un réel appartenant à l’intervalle J = ] - π/2, + π/2 [. On considère l’équation (E) de la variable complexe z : (E) z2cos2θ - 4zcosθ + 5 – cos2θ = 0 1 – Résoudre (E) dans l’ensemble des complexes. On précisera pour quelle(s) valeur(s) de θ l’équation (E) admet une racine double et la valeur de cette racine. 2 – Le plan complexe étant rapporté à un repère orthogonal, on note par M1 et M2 les points du plan complexe dont les affixes respectives sont z1 et z2, solutions de (E). Donner l’équation cartésienne de la courbe du plan, lieu géométrique de M1 et M2 lorsque θ varie dans l’intervalle J. Problème : Dans tout le problème, on se place dans l’espace des polynômes, à coefficients réels, d’une variable réelle. On appelle polynôme symétrique un polynôme P dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l’autre, et sont donc égaux par paires. L’objectif du problème est d’avancer dans la recherche des solutions de l’équation P(x) = 0. Plus précisément, pour un polynôme symétrique P2n+1 de degré impair 2n+1 : k 1 2n 0 k k 1 2n x a (x) P ∑ + = + = Les coefficients vérifient la relation ak = a2n-k+1 pour k = 0 à n. De même, pour un polynôme symétrique P2n de degré pair 2n : k 2n 0 k k 2n x a (x) P ∑ = = Les coefficients vérifient la relation ak = a2n-k pour k = 0 à n-1, le coefficient médian an n’étant pas apparié. Partie 1 On pose y = x + (1/x), pour x 0, et u(k) = xk + (1/x)k, pour k entier, k ≥ 0 (et donc u(1) = y). 1 – Calculer u(0) et exprimer u(2) en fonction de y. 2 – Montrer que u(k+1) peut être exprimé en fonction de u(k), u(k-1) et y au moyen d’une relation R que l’on explicitera précisément. 3 – En utilisant la relation R établie à la question 2, discuter les conditions d’existence de la solution de R et donner la forme générale de u(k) en fonction de y et de k. 4 – Montrer que u(k) est un polynôme de degré k en y. 5 – Calculer u(3), u(4), u(5) et u(6) en fonction de y. Partie 2 1 – Donner un exemple de polynôme symétrique de degré 1. 2 – On considère le polynôme P2 de degré 2 tel que : x ax2 + bx + a, a 0. Résoudre l'équation P2(x) = 0. Dans le cas où P2 admet deux racines distinctes, les comparer. Partie 3 Considérons maintenant le polynôme P3 du troisième degré tel que : x ax3 + bx2 + bx + a, a 0. 1 – Montrer que 0 n'est pas racine de P3 et que si α est racine de P3, alors 1/α l’est aussi. 2 – Discuter le nombre de solutions de l'équation P3(x) = 0. 3 – Soit P3(x) = 7x3 - 43x2 - 43x + 7. Résoudre l'équation P3(x) = 0. Partie 4 Soit le polynôme P4 du quatrième degré tel que : x ax4 + bx3 + cx2 + bx + a, où a 0. 1 – Montrer que 0 n'est pas racine de P4 et que si α est racine de P4, alors 1/α l’est aussi. 2 – Soit y = x + (1/x), pour x 0, introduite dans la partie 1. Montrer que P4(x) = x2g(x), où g est une fonction de la variable réelle x que l’on explicitera. Exprimer g en fonction de y et y2, et des coefficients a, b, c. 3 – A quelle condition sur a, b et c l’équation P4(x) = 0 admet-elle des solutions ? Montrer que résoudre l’équation P4(x) = 0 revient à résoudre deux équations du second degré. 4 – Résoudre l'équation : 12x4 + 11x3 - 146x2 + 11x + 12 = 0. Partie 5 On se place dans le cas général. 1 – Soit P2n+1 un polynôme symétrique. Trouver une racine évidente de P2n+1. 2 – Montrer que P2n+1(x) = H(x).Q2n(x) où H est un polynôme de degré 1 que l’on précisera et Q2n un polynôme de degré 2n. On pose : i 2n 0 i i 2n x b (x) Q ∑ = = Exprimer les coefficients ak, k = 0 à 2n+1, du polynôme P2n+1 en fonction des coefficients bi, i = 0 à 2n, du polynôme Q2n. Montrer que le polynôme Q2n est un polynôme symétrique. 3 – Montrer que Q2n(x)/xn peut être mis sous la forme Rn(y) où Rn est un polynôme de degré n de la variable y déjà définie dans la partie 1, et utilisée également dans la partie 4. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2009 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie ÉCONOMIE (Durée de l’épreuve : 4 heures) Les candidats traiteront au choix l’un des deux sujets suivants. Sujet n° 1 Dans le numéro de septembre 2008 de la revue Finances et Développement, D.C.L. Nellor (économiste du FMI) notait « que l’accession de certains pays africains au statut d’économie émergente leur offre des perspectives économiques formidables. (…) On constate déjà que les flux financiers se traduisent par une intermédiation financière accrue des pays concernés. Pour que la croissance reste soutenue, il faut notamment que les politiques macroéconomiques et la réglementation prudentielle des mouvements de capitaux permettent d’éviter les pièges de la volatilité des flux de court terme et que la surveillance favorise la stabilité du secteur financier et l’efficacité de l’intermédiation ». A la lumière de la crise internationale actuelle, ces précautions sont plus nécessaires que jamais. En vous appuyant sur l’appareil conceptuel de la politique économique en économie ouverte, illustré par des exemples pris en Afrique mais également dans le reste du monde, détaillez ce que l’on peut considérer comme « des politiques macroéconomiques prudentes ». Vous rappellerez en particulier des contraintes que font peser sur la balance des opérations courantes, mais également sur les bilans des entreprises et des banques, la volatilité des capitaux et la volatilité des taux de change qu’elle tend à provoquer. Sujet n° 2 Selon S.Gupta et Y.Yang (Finances et Développement, décembre 2006), la part de l’Afrique dans les échanges mondiaux est tombée de 4% dans les années 70 à 2% au cours des années 2000. Son ouverture au commerce a progressé plus lentement que celle de toutes les autres grandes régions en développement. Rappelant les principales conclusions de la théorie des blocs commerciaux, les auteurs stigmatisent en particulier le rôle néfaste des accords commerciaux régionaux, provoquant en particulier des détournements de trafic particulièrement défavorables. En vous appuyant vous-même sur la théorie du commerce international, et sur les faits stylisés que vous pouvez connaître, il vous est demandé d’expliquer cette évolution. A la lumière des exemples non africains, vous vous demanderez alors si le libre échange – prôné par l’Organisation Mondiale du Commerce – constitue une solution susceptible de doper la croissance. ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA – ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA – YAOUNDÉ AVRIL 2009 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie 2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l’épreuve : 3 heures) L’épreuve est composée de deux exercices et d’un problème indépendants, qui peuvent être traités dans un ordre quelconque. Exercice n° 1 Soit f une application de ]0, 1 [ dans R+ définie par x → f(x) = x – 2x1/2 + 1. Le symbole o représente la composition des applications. Montrer que f o f (x) = x. Exercice n° 2 Un individu vit dans un environnement où uploads/Finance/ iseeco-2009.pdf