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Mathématiques financières (D. Bodin) - 1 CH 1. LES INTERETS SIMPLES X prête de

Mathématiques financières (D. Bodin) - 1 CH 1. LES INTERETS SIMPLES X prête de l'argent à Y pendant un temps déterminé. L'intérêt constitue la rémuné- ration du service rendu par X à Y : c'est le loyer de l'argent prêté. .1 LE CALCUL DE L'INTERET (I) Paramètres Formule de calcul Vo t n m j la valeur placée ou prêtée le taux de l'intérêt annuel pour 1 € la durée de placement : - en années - en mois - en jours I = Vo x t x n m/12 j/360 ou 365  Le nombre de jours de placement est calculé : soit en dénombrant le nombre de jours réels chaque mois sur une année de 365 j. ; soit par mois de 30 jours sur une année de 360 jours (simplification souvent utili- sée dans les relations commerciales). Exemple La Sté ABC a effectué les placements ci-dessous. Calculer l'intérêt acquis et en déduire le taux moyen de placement (année de 365 j.) ? Nominal Taux Durée Intérêt Vn 5 000 5% 1 an 3 mois = 5 000 x 0.05 x (1+3/12) 312.50 5 312.50 4 000 6% 8 mois = 4 000 x 0.06 x 8/12 160.00 4 160.00 2 000 4% du 15/03 au 05/07 = 2 000 x 0.04 x 112/365 24.55 2 024.55 11 000 5.22% Taux moyen (t) (1) 497.05 11 497.05 (5.22%) (497.05) (11 497.05) (1) = 5 000 x t x 1.25 + 4 000 x t x 8/12 + 2 000 x t x 112/365 = 497.05  t = 5.22% .2 LA VALEUR ACQUISE (Vn) ET LA VALEUR ACTUELLE (Vo) Valeur actuelle Valeur acquise  Vo Actualisation Capitalisation Vn Domaines d'application L'escompte des effets (§3) Les décisions financières (§4) Les placements < à 1 an (§1) Les comptes courants rémunérés (§5) Formules de calcul Vo = Vn - i Vn = V + i Exemple : Calculer la valeur acquise des 3 placements précédents ? Mathématiques financières (D. Bodin) - 2 .3 L'ESCOMPTE DES EFFETS DE COMMERCE (E) .3.1. La technique de l’escompte Un effet de commerce (lettre de change, billet à ordre ou warrant) constate l'engagement pris par un débiteur de payer à son créancier à une date déterminée une somme d'argent, montant de la dette qu'il a contractée. Si le créancier a besoin de cet argent avant l'échéance stipulée, il cédera l'effet de commerce, avec tous les droits qui s'y attachent, à une banque, suivant la technique de l'escompte : le banquier escompteur achète l'effet et se substitue au créancier ; le débiteur paiera au banquier le montant de sa dette à l'échéance fixée. Le banquier verse par avance au créancier la somme qui lui est due, mais avec des intérêts pour prix du service rendu. Ce moyen de financement qui permet aux entreprises de disposer du montant de leurs créances avant leur échéance constitue une mobilisation de créances. .3.2. Les agios d'escompte Vendre un effet de commerce, c’est le négocier. L'acheter, c'est l'escompter. Le total des intérêts, frais et commissions perçus par la banque en rémunération du crédit qu'elle consent constituent les agios. Les agios d'escompte comportent l'escompte proprement dit et des commissions : 1.L'escompte (E) : il se calcule comme l’intérêt mais à partir de la valeur nominale (Vn) : valeur de l’effet à l’échéance. 2.Les commissions : Elles sont proportionnelles ou fixes et permettent à la banque de récupérer ses frais et de se rétribuer les services qu'elle rend. Généralement, sont perçues : une commission d'endos pour couvrir les frais d'endossement des effets : elle se calcule dans les mêmes conditions que l'escompte (proportionnelle au temps) ; une commission de service dont le montant par effet est fixe. S'y ajoutent parfois des commissions spéciales, telle la commission d'acceptation dont le montant est forfaitaire, en rémunération de l'envoi des effets à l'acceptation des tirés. Ces nombreuses commissions sont très fréquemment remplacées par une seule commission forfaitaire, variable selon les banques. Les agios proportionnels au temps (escompte proprement dit et la commission d’endos) représentent la rémunération d’une opération financière et sont, à ce titre, exonérés de TVA. Seule la commission de service (rémunération du service com- mercial rendu par la banque) est assujettie à la TVA. Les commissions majorent le taux d'escompte et rendent l'opération coûteuse, surtout si les effets sont de faible valeur nominale. En diminuant la valeur nominale du total des agios on obtient la valeur actuelle (Vo). Mathématiques financières (D. Bodin) - 3 Exemple Le 10/11, la Sté ABC escompte un effet de 2 000 €, échéance le 31/12. Le 13/11, elle reçoit le document ci-dessous. CIO Compte : Sté ABC n° 264015 Montants Calculs à reconstituer Effet n° ..., échéance le 31/12/N, nominal : 2 000.00 (année de 360 j.) - Escompte à 7% - 19.44 = 2 000 x 0.07 x 50/360 - Commission d’endos (proportionnelle au temps) 1% - 2.78 = 2 000 x 0.01 x 50/360 - Commission fixe TTC -4.00 Agios TTC à déduire (dont TVA : 0.66 €) - 26.22 TVA = 4/1.196x0.196 Net à votre crédit, le 13/11 (Nominal - Agios) 1 973.78 10/11 31/12 Escompter un effet consiste à remettre  un effet à sa banque pour obtenir de la Vo = 1 973.78 Vn = 2 000 trésorerie avant l'échéance. .3.3. Le taux réel d'escompte C’est le taux de revient pour l’entreprise de l’opération : taux d’escompte majoré des diverses commissions. Il correspond au taux qui, appliqué à la valeur nominale et au temps, donne le total des agios HT = Vn x taux réel x n/360 =  agios HT.  Calculer le taux réel d'escompte de l’exemple précédent ? (9.20%) Agios HT = Vn x t x 50/360  (26.22 – 0;66) = 2 000 x t x 50/360 t = 9.20% .4 L'ACTUALISATION ET LES DECISIONS FINANCIERES La prise de décision sur le plan financier (décision de remplacement ou de choix entre plusieurs modes de règlement...) nécessite souvent de comparer plusieurs valeurs monétaires exprimées à des échéances différentes. Cette comparaison se réalise par le calcul de la valeur actuelle de chaque valeur exprimée dans le temps. .4.1. Le remplacement d'un mode de règlement Exemple La Sté ABC dispose d'un effet de 10 000 €, échéance le 30/11. Le 01/11, GRIMAUD, le tiré, demande un étalement de sa dette. La Sté ABC lui propose la création de 2 effets de montant identique, échéance le 30/11 et le 31/12 (année de 360 j.). Déterminer la valeur nominale Vn de ces 2 effets (taux d'escompte 7%) ? (5 014.71) 01/11 30/11 31/12  1. Avant 10 000 2. Après Vn Vn Le 01/11, il doit y avoir équivalence entre les 2 modes de règlement : La valeur actuelle avant doit être égale à la valeur actuelle après.  10 000 - 10 000 x 0.07 x 29/360 = 2Vn -((Vn x 0.07 x 29/360) + (Vn x 0.07 x 59/360))  9 943.61 = 1.9829 Vn  Vn = 5 014.71 € Mathématiques financières (D. Bodin) - 4 .4.2. Le choix entre plusieurs modes de règlement Exemple Le 30/09/N, en règlement de l'achat d'un matériel (valeur 10 000 HT), la Sté ABC a le choix entre 3 modes de règlement : 1. soit au comptant sous escompte de 2% ; (9 800.00) 2. soit avec une traite de 10 420 €, échéance 30/11 ; (10 298.43) 3. soit avec 2 traites de 5 200 €, échéances 31/10 et 30/11. (10 309.00) Quel est le règlement le plus avantageux (escompte à 7% ; année de360j.) ? (1, 2 puis 3) 30/09 31/10 30/11  1. 9 800 2. 10 420 3. 5 200 5 200 Le mode règlement le plus avantageux est celui pour lequel la valeur actuelle est la plus faible le 30/09 : Vo1 = 9 800.00 Vo2 = 10 420 - (10 420 x 0.07x 60/360) = 10 298.43 Vo3 = (5 200 - 5 200 x 0.07 x 30/360) + (5 200 - 5 200 x 0.07 x 60/360) = 10 309.00  Le mode de règlement le plus avantageux est le 1°, puis le 2° puis le 3°. .5 LES COMPTES COURANTS REMUNERES Ce sont des comptes pour lesquels les opérations créditrices (alimentant le compte) et les opérations débitrices (les prélèvements) portent intérêts. 1. Les comptes courants ouverts dans les établissements financiers Leur tenue respecte certaines règles (méthode hambourgeoise) : les opérations sont classées par dates de valeur croissantes (1) ; les intérêts sont calculés sur le temps de placement du solde du compte (nombre de jours de date de valeur séparant deux soldes) ; le taux d'intérêt dépend du sens (débiteur ou créditeur) du solde. (1) Il faut en effet distinguer la date d'opération (date effective de réalisation de celle- ci) et la date de valeur (la date à partir de laquelle on calcule l'intérêt) : Nature de l'opération Date de valeur Créditrice Date d'opération majorée d'un à plusieurs jours de banque. Débitrice Date d'opération minorée d'un à plusieurs jours de banque. Exemple : Faire l'exemple 1 page 4. uploads/Finance/ m-f-cours.pdf