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ﻭﺯﺍﺭﺓﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﻌﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺒﺤﺚ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ UNIVERSITÉ BADJI MOKHTAR ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺑﺎﺟﻲ ﻣﺧﺗﺎﺭ ANN

ﻭﺯﺍﺭﺓﺍﻟﺘﻌﻠﻴﻢ ﺍﻟﻌﺎﻟﻲ ﻭﺍﻟﺒﺤﺚ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ UNIVERSITÉ BADJI MOKHTAR ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺑﺎﺟﻲ ﻣﺧﺗﺎﺭ ANNABA ﻋﻧﺎﺑﺔ Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année : 2013 MÉMOIRE Présentée en vue de l’obtention du diplôme :MAGISTER Option Mathématiquesappliquées Intitulée Existence et positivité de la solution d’un problème aux limites fractionnaire Présentée par : BelakroumKheireddine Directeur de Thèse : AssiaGuezane-LakoudPr.U. B. M. Annaba Devant le jury Président: Khaldi Rabah Pr. U. B. M. Annaba Examinateurs: Kelaiaia Smail Pr. U. B. M. Annaba EllagouneFateh M. C. A Univ. Guelma ChaouiAbderezak M. C. A Univ. Guelma ﻣﻠﺨﺺ ﻧﻈﺮﺍ ﻷﻫﻤﻴﺔ ﺍﻟﺪﻭﺭ ﺍﻟﺬﻱ ﻳﻠﻌﺒﻪ ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻝ ﺍﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎﺕ ﺣﻴﺚ ﺍﻧﻪ ﻳﺘﺪﺧﻞ ﻓﻲ ﺣﻞ ﺍﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺧﻄﻴﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺑﺈﻳﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪﺓ. ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺬﻛﺮﺓ ﻧﺘﻨﺎﻭﻝ ﺍﻟﺒﻌﺾ ﻣﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ ﺍﻟﻤﺘﻌﺪﺩﺓ ﻛﻤﺎ ﻧﺪﺭﺱ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺘﻌﻤﻴﻤﺎﺕ ﻟﻬﺬﺍ ﺍﻟﻤﺒﺪﺃ ﻭﺑﻌﻀﺎﻣﺘﺪﺍﺩﺍﺗﻬﺎﻟﺘﻲ ﺗﺸﺎﺭﻙ ﻓﻴﺤﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔﺍﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﺛﺒﺎﺕ ﻭﺟﻮﺩ ﻭﻭﺣﺪﺍﻧﻴﺔ ﺍﻟﺤﻠﻮﻟﺒﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻣﻤﺒﺪﺃﺍﻻﻧﻜﻤﺎﺵ ﻟﺒﻨﺎﺥ ﻭ ﻧﻄﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻟﺸﻮﺩﻳﺮ ، ﻛﻤﺎ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻨﺎﻗﺸﺔ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﺤﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻟﻜﺮﺍﺳﻨﻮﺳﻠﺴﻜﻲ. : ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﻜﺴﺮﻳﺔ ﺑﻤﻔﻬﻮﻡ ﻛﺎﺑﻮﺗﻮ ، ﻣﺒﺪﺃ ﺍﻟﺘﻘﻠﻴﺺ ﻟﺒﻨﺎﺥ، ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻭﺑﺔ ﺍﻟﻐﻴﺮ ﺧﻄﻴﺔ ﻟﺸﻮﺩﻳﺮ، ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔ. Table des matières Chapitre 1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chapitre 2 Introduction à la dérivation fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 La dérivation fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Fonctions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 L ’intégrale fractionnaire sur un intervalle [a,b] . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Dérivées fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Approche de Grünwald-Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Approche de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Dérivées fractionnaires au sens de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Comparaison entre la dérivée fractionnaire au sens de Caputo et celle de Riemann-liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Propriétés générales des dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.1 1. Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2 2. La règle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Applications des dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6.1 Champs d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i Table des matières 2.6.2 Modèle viscoélastique à dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . 22 2.6.3 Interprétation physique de l’intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville 24 2.6.4 Interprétation physique de la dérivation fractionnaire au sens de Riemann- Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chapitre 3 Quelques résultats de la théorie du point ﬁxe . . . . . . . . . . 28 3.1 Théorème du point ﬁxe du type Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Théorème de l’application contractante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Extension du principe de l’application contractante . . . . . . . . . . . 30 3.2 Théorème du point ﬁxe du type Brouwer-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Le théorème du point ﬁxe de type Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Théorème du point ﬁxe de type Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Théorème du point ﬁxe de Krasnoselskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chapitre 4 Etude de l’existence et la positivité de la solution d’un problème fractionnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 4.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Résultat d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Existence de la solution positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ii Résumé Le principe du point ﬁxe a beaucoup d’applications. Il intervient dans la résolution de plusieurs équations différentielles non linéaires en particulier, dans l’étude de l’existence et de l’unicité. Dans ce mémoire on aborde différentes applications de ce principe ainsi que quelques- unes de ses extensions et généralisations qui s’impliquent dans la résolution des équations différentielles fractionnaires. Nous démontrons l’existence et l’unicité des solutions en utili- sant le principe de contraction de Banach et l’alternative non linéaire Leray-Schauder, nous étudions la positivité de la solution via le théorème Guo-krasnosel skii du point ﬁxe sur cône. Mots clés : Dérivées fractionnaires aux sens de Caputo, Principe de la contraction de Banach, Alternative non linéaire type Leray-Schauder, le théorème du point ﬁxe Guo- krasnosel skii . i Abstract The ﬁxed point principle plays a crucial role in the large domain of application. It gives us the main tool for a more advanced study of different non linear differential equations, particularly for problems of existence and uniqueness. In this memory, we consider different applications of this principle and some ones of its extensions and generalizations which are implied in the resolution of fractional differential equation. we prove the existence and uniqueness of solutions by using Banach contraction principle and Leray-Schauder nonlinear alternative, we investigate the positivity of solution by using Guo-krasnosel skii ﬁxed point theorem on cone. Keywords : Fractional Caputo derivative, Banach contraction principal, Leary-Schauder nonlinear alternative, Guo-Krasnoselskii ﬁxed point theorem. ii Chapitre 1 Introduction générale Q uand on introduit la notion de dérivée, on se rend vite compte qu’on peut ap- pliquer le concept de dérivée à la fonction dérivée elle-même, et par la même introduire la dérivée seconde. Puis les dérivées successives d’ordre entier. L ’inté- gration, opérateur inverse de la dérivée, peut éventuellement être comme une dérivée d’ordre " moins un". On peut aussi se demander si ces dérivées d’ordre successifs ont un équivalent d’ordre fractionnaire. La théorie de dérivation fractionnaire est un sujet presque aussi ancien que le calcul classique tel que nous le connaissons aujourd’hui, ces origines remontent à la ﬁn du 17eme siècle [56], l’époque où Newton et Leibniz ont développé les fondements de calcul diffé- rentiel et uploads/Finance/ manuscrit-final-pour-soute.pdf