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Chapitre I Calculs élémentaires et Révisions 1) Calculs sur les fractions : Une

Chapitre I Calculs élémentaires et Révisions 1) Calculs sur les fractions : Une fraction est un rapport de deux nombres, c'est-à-dire la division du premier, le numérateur, par le second, le dénominateur. Règle 1 : ¼ c’est la moitié de ½ Ce qui s’écrit : (¼) = (½) / 2 Pour diviser ½ par 2, je multiplie le dénominateur par deux. Si A = a/b (A/6) = (a/b) / 6 = (a/6*b) Pour diviser une fraction A par 6, je multiplie le dénominateur par 6. Règle 2 : ½ c’est quatre fois 1/8 Ce qui s’écrit : (1/2) = 4 * (1/8) Ou encore : (1/2) = (4/8) Si bien que pour multiplier une fraction, ici 1/8, par4, je multiplie le numérateur par 4. Si A = a/b (5*A) = 5 * (a/b) = (5*a) / b Pour multiplier une fraction A par 5, je multiplie le numérateur par 5. Règle 3 : (1/8) + (1/8) = (1/4) Or, (1/8) + (1/8) = 2* (1/8) Soit, (1/8) + (1/8) = (2*1) / 8 Ou encore, (1/8) + (1/8) = 2/8 Donc, 2/8 = ¼ On ne change pas la valeur du rapport en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre. Règle 4 : 7/15 est-il supérieur ou inférieur à 2/5 ? 2/5 = 6/15 Or, 7>6 Donc, 7/15 > 2/5 Pour comparer deux fractions il faut qu’elles aient un dénominateur commun. Application 1 : Ayant réussi une belle affaire, une mère cadre d’entreprise reçoit une prime, qu’elle décide de répartir entre ses quatre enfants, en fonction de leurs besoins et désirs du moment. Elle prévoit la moitié pour l’ainé, étudiant, ¼ pour le cadet, au lycée. Combien reste-il pour les deux autres ? Si elle répartit pour moitié ce restant, combien cela fait-il pour chacun ? Calculer les montants reçus par chacun des 4 enfants si la prime est de 8 000 e. Solution : Soit P la prime, P1 ce que reçoit le premier, P2 ce que reçoit le second, P3 ce que reçoit le troisième, et P4 ce que reçoit le quatrième. Le premier recoit : P1 = P/2 Le second recoit : P2 = P/4 Le troisième et le quatrième recoivent : R = P – (P1) –( P2) = P – (P/2) – (P/4) = P – (2P/4) – ( P/4) = P/4 Si elle répartit pour moitié ce restant, cela fera pour chacun : P3 = P4 = R/2 = (P/4) / 2 = P/8 Comme P = 8 000 Donc chacun recevra : P1 = 8000/2 = 4000 P2 = 8000 / 4 = 2000 P3 = 8000 / 8 = 1000 P4 = 8000 / 8 = 1000 Application 2 : 10/16 est-il supérieur ou inférieur à ¾ ? Solution : Pour répondre, je ramène les deux rapports au même dénominateur, par exemple 6. Posons A= 10/16, et B= ¾ Or, B = 12/16 Or, 10<12 J’en déduis donc que A<B 2) La règle de trois : Application 1: Au supermarché, 6 bouteilles d’eau minérale coutent 3 e. Un client passe à la caisse avec 16 bouteilles d’eau. Combien doit-il ? Il faut poser le raisonnement : Soit x la valeur cherchée. 6 bouteilles d’eau valent 3 e. 1 bouteille vaut 6 fois moins (division par 6) 16 bouteilles valent 16 fois plus (multiplication par 16) X = (3/6) * 16 X = 8 euros. Application 2 : Une entreprise s’efforce de calculer son « bilan carbone » (quantité de CO2 qu’elle rejette chaque année). Concernant les voitures de ses vendeurs, sachant que pour faire 400 km, on émet environ 68 kg de CO2. Combien ont émis les vendeurs en 2013, sachant qu’ils ont parcouru au total 800 000 km cette année la ? Soit x la quantité de CO2 émise recherchée. X = (68/400) * 800 000 X = 136 000 kg de CO2 X = 136 tonnes de CO2 3) Les équations du premier degré : Application 1 : Pierre doit obtenir 10 de moyenne sur quatre matières pour réussir un examen. Il a raté l’examen en première session, car il a obtenue les notes suivantes : Matière A : 12/20, Matière B : 14/20, Matière C : 10/20, Matière D : 2/20. Quelle moyenne a-t-il obtenue ? Moyenne obtenue = (12+14+10+2) / 4 = 9.5 Il doit repasser en seconde session les matières pour lesquelles il n’a pas eu la moyenne, donc la matière D. Quelle note doit-il obtenir à la matière D en seconde session pour réussir l’examen ? Soit x la note minimale recherchée. Il faut que (12+14+10+x) / 4 = 10 (36 + x) /4 = 10 36 + x = 40 X = 4 Il faut donc qu’il ait au moins la note de 4. Application en gestion : Un magasin de jeans supporte chaque mois un montant de couts fixes, c'est-à-dire de couts dont le montant global ne dépend pas de la quantité vendue, de 15 000 e. Exemples de couts fixes : le loyer du magasin, le salaire des vendeurs salariés en CDI hors heures supplémentaires, perte de valeur des équipements (dotation aux amortissements).. Par ailleurs, chaque jean étant vendu 70e alors qu’il est acheté 40e, combien faut-il en vendre pour ne pas perdre d’argent dans le mois ? Pour ne plus perdre d’argent, il faut que le chiffre d’affaire, c'est-à-dire le montant des ventes, soit égal à l’ensemble des couts (couts fixes plus cout d’achat des jeans vendus). Soit x le nombre de jeans achetés et vendus Pour ne plus perdre d’argent, il faut que x soit tel que : Ventes = Total des couts 70 * x = 15 000 + (40 * x) (70 * x) – (40 * x) = 15 000 30 * x = 15 000 X = 15 000 / 30 X= 500 Le seuil de rentabilité : Le seuil de rentabilité est pour une période donnée, un mois par exemple, la quantité qu’il faut produire et vendre pour cesser de perdre de l’argent. Représentation graphique : CA = 70 * x CF = 15 000 CV = 40 * x On sait que y = ax + b est l’équation d’une droite Droite du chiffre d’affaire : CA = 70x ↔ y=70x Il s’agit donc bien de l’équation d’une droite. Nous savons que par deux points passe une droite et une droite seule Si x = 0 ↔ y = 0 Si x = 1000 ↔ y = 70 000 Droite du total des couts : Couts = 40x + 15 000 ↔ y = 40x+15000 Si x = 0 ↔ y = 15 000 Si x = 1 000 ↔ y = 55 000 Grace au graphique, calculez le bénéfice si l’on vend 700 jeans ? Pour x=700 Par lecture graphique on obtient : CA = 49 000 Couts = 43 0000 Bénéfice = CA – Couts = 43 000 - 49 000 = 6 000 Conclusion : La longueur du segment verticale (entre le CA et les cours) pour une quantité donnée nous donne le bénéfice. A mesure que les quantités vendues augmentent, le bénéfice augmente (voir flèche sur le graphique). 4) Calcul du taux de croissance : La croissance : On appel croissance de x, la quantité x2 – x1 La croissance est notée ∆x Taux de croissance : On appel taux de croissance de x entre deux dates, le rapport de la croissance de x à sa valeur de départ. x étant par convention la valeur de départ Le taux de croissance est notée ∆x / x C’est donc ce que l’on appel la valeur croissance rapportée, ou relative à la valeur de départ. Taux de croissance = ∆x/x Alors, ∆x = Taux de croissance * x C'est-à-dire que la croissance est égal au taux de croissance multiplié par la valeur de départ Exemple : Considérons une variable x, par exemple la taille de Pierre à son anniversaire. Soit x = x1 à la date t1, x = x2 à la date t2.. Par exemple, x = 120 cm à la date 1, x = 126 cm à la date 2 La croissance : ∆x = 6 cm Taux de croissance : Tx = 6 / 120 = 5 / 100 = 0.05 = 5% Application : En 2009, le PNB japonais était de 5 249.04 milliards de dollars. En 2010, après deux années de recul du PNB, le pays renoue avec la croissance, au taux de 4% Calculez le PNB de l’année 2010 : Tx = (PNB 2010 – PNB 2009) / PBN 2009 (PNB 2010 – PNB 2009) = PNB 2009 x Tx PNB 2010 = PNB 2009 + (PNB 2009 x Tx) PNB 2010 = PNB 2009 (1 + Tx) PNB 2010 = 5 249.04 (1 + 0.04) PNB 2010 = 5 459 Le PNB du japon en 2010 était donc de 5 459 milliards de dollars. Quelle que soit la valeur x, on a Taux de croissance = ∆x / x (x étant la valeur de départ) uploads/Finance/ math.pdf