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MATHEMATIQUES FINANCIERES INTRODUCTION LES MATHEMATIQUES FINANCIERES INTRODUIS

MATHEMATIQUES FINANCIERES INTRODUCTION LES MATHEMATIQUES FINANCIERES INTRODUISENT LA LOGIQUE ET LA RIGUEUR MATHEMATIQUES DANS L’ETUDE DES OPERATIONS FINANCIERES CELLES-CI SONT TRES PRESENTES DANS LA VIE DES ENTREPRISES : CREDITS, PLACEMENTS DE TRESORERIE, EMPRUNTS, INVESTISSEMENTS INDUSTRIELS ET COMMERCIAUX Les taux d’intérêts L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent ; les justifications sont les suivantes : – Un individu qui prête de l’argent se prive d’une consommation immédiate, au profit de l’emprunteur. Il est normal qu’il reçoive en contrepartie une rémunération qui le dédommage de cette privation provisoire ; cette rémunération doit au moins compenser l’érosion monétaire : si le taux d’inflation annuel est de 2%, les taux proposer doivent au moins dépasser 2% Les taux d’intérêts – Tout prêt présente un risque de non remboursement ; ce risque n’est accepté par le prêteur qu’à la condition de percevoir une rémunération croissante avec la probabilité de non remboursement. – Si un individu se voit offrir des opportunités de placement à un taux ®, il n’acceptera pas de prêter à un taux inférieur à ® : on dit que ® est son coût d’opportunité Exemple : si un épargnant a des possibilités de placement dans des Sicav monétaires au taux de 3%, il n’acceptera pas de prêter son argent à des entreprises ou à l’État, à un taux < à 3%. Les taux d’intérêts L’intérêt est une fonction croissante du capital prêté et du temps : il est d’autant plus élevé que le montant prêté est important et que l’argent est prêté pour longtemps. Lorsque l’intérêt s’applique à une seule période, il s’agit d’un intérêt simple, lorsqu’il concerne plusieurs périodes, on parle d’intérêt composé. LES INTERETS SIMPLES LES OPERATIONS FINANCIERES A COURT TERME L’intérêt simple Définition : Les intérêts simples sont utilisés lorsque la durée de l’opération est < 1 an. Ils sont proportionnels à la durée totale du prêt ou du placement, et sont versés en une seule fois, au début ou à la fin de l’opération. L’intérêt simple Explication : V = le montant du capital emprunté ou placé r = le taux d’intérêt pour la période n = le nombre de périodes L’intérêt simple s’élève à Vrn La somme remboursée correspond au capital initial augmenté des intérêts : V+Vrn = V(1 + rn) L’intérêt simple Application : Un placement de 10 000 € sur un compte rapporte un intérêt mensuel de 0,80%, à intérêts simples pendant 6 mois. Quels sont les intérêts à la fin de la période ? Quel est la somme figurant sur le compte au terme des 6 mois ? L’intérêt simple Réponse : Les intérêts à la fin de la période s’élèvent à : Vrn = 10 000 x 0,80% x 6 = 480 € La somme figurant sur le compte au terme des 6 mois est de 10 000 + 480 = 10 480 € L’intérêt simple Calcul pratique : En pratique le taux annoncé est souvent un taux annuel. Celui-ci prévaut pour une année de 360 jours (forfait) pour les opérations à court terme (marché monétaire, escompte…) Pour les opérations à long terme (marché obligataire), on considère l’année civile de 365 ou 366 jours. La durée des opérations est par contre toujours déterminée exactement. L’intérêt simple L’intérêt dû pour les opérations à court terme s’en trouve majorée, passant ainsi de : r à r* 365 360 L’intérêt simple Application : une entreprise a emprunté 20 000 € à sa banque du 15 novembre N au 31 janvier N+1 au taux annuel de 6% (année de 360 jours). Quel est l’intérêt dû ? L’intérêt simple Réponse : Le nombre de jours auquel s’applique l’intérêt est de : novembre : 15 jours (on part du lendemain du 15 novembre) décembre : 31 jours janvier : 31 jours Soit : 77 jours L’intérêt simple Réponse : L’intérêt dû est alors : 20 000 x 6% x 77/360 = 256,66 € Remarque : le taux d’intérêt passe de 6% à 6% x 365/360 = 6,083% en raison du mode de décompte de jours L’intérêt simple : terme échu et terme à échoir Explication : Selon les modalités du contrat de prêt ou de placement, les intérêts peuvent être versés en début ou en fin de période :  lorsque les intérêts sont payés en fin de période, on dit qu’ils sont postcomptés ou terme échu  lorsque les intérêts sont payés en début de période, on dit qu’ils sont précomptés ou terme à échoir L’intérêt simple Application : une somme de 10 000 € placée sur un compte rapportant 0,80% par mois, pendant une durée de 6 mois. Nous avons vu précédemment que les intérêts s’élevaient à 480 € pour 6 mois, ce qui correspond à un taux semestriel de 6 x 0,80% soit 4,80% L’intérêt simple Explication : la première solution (terme échu) est plus avantageuse pour l’emprunteur le prêteur préfèrera la seconde solution L’intérêt simple Application : Si les 480 € avaient dû être versés dès l’origine, la somme réellement placée n’aurait été que de 10 000 € - 480 € = 9 520 € le taux effectif était alors de 5,04 % pour 6 mois soit : (10 000/9520) – 1 (1,0504 – 1) = 0,0504 soit en % 5,04% L’intérêt simple dates 0 = début 1 = fin Intérêts postcomptés V V + intérêts Intérêts précomptés V + intérêts V L’intérêt simple Par convention, on appelle taux effectif d’intérêt simple le taux d’intérêt simple terme échu. Si (r’) est le taux d’intérêt terme à échoir pour une période, il est alors équivalent au taux effectif (terme échu) r pour une période : r = r’ / (1 – r’) L’intérêt simple Application : Si r’ = 4.80% calculez r L’intérêt simple Explication : Si r’ = 4.80% calculez r r = r’/(1-r’) r = 0,048/(1-0,048) r = 0,048/0,952 r = 0,0504 soit en % 5,04% L’intérêt simple Si le taux est un taux pour une période, et n le nombre de périodes : r = r’ / (1-r’n) dans l’exemple précédent, le taux mensuel r’ est de 0,80% précomptés et n = 6 mois, on aura donc : L’intérêt simple r = 0,008 / (1-6x0,008) = 0,0084 par mois, soit pour une période de 6 mois, en taux proportionnel : 0,0084 x 6 = 0,0504 soit 5,04% Les opérations financières à court terme Les crédits à CT traditionnels : escompte et découvert Les opérations réalisées sur le marché monétaire Les crédits à CT traditionnels Le taux utilisé est soit le taux de base bancaire (TBB) Soit un taux du marché monétaire (EONIA – TMM – TAM – EURIBOR) Remarque : Le TBB n’est plus guère utilisé, laissant la place aux taux du marché monétaire, moins élevés L’escompte Explication : L’escompte permet de transformer une créance, matérialisée par un effet de commerce, en liquidités : la banque accorde un crédit à court terme sur la base de l’effet, en créditant le compte de l’entreprise du montant de l’effet escompté diminués des agios précomptés ; on parle dans ce cas d’escompte commercial. L’escompte Explication : Une autre méthode de calcul, moins utilisée s’appelle l’escompte rationnel, l’intérêt s’applique dans ce cas non plus sur la valeur de l’effet, (valeur nominale) mais à sa valeur actuelle, après déduction des intérêts d’escompte. L’escompte Explication : V = valeur nominale de l’effet r = taux d’intérêt pour la période n = nombre de périodes, exprimé en nombre d’année si r est un taux annuel, en nombre de mois si r est un taux mensuel W = la valeur de l’effet, après déduction des intérêts d’escompte E L’escompte Explication : W = V – E L’escompte commercial sera Ec = Vrn L’escompte rationnel sera Er = Wrn = (V-Er)rn Ainsi: Er = Vrn / (1+nr) L’escompte Application : Un effet de 20 000 € est escompté sur une durée de 60 jours au taux de 7%. Quelles sont les valeurs de l’escompte commercial et de l’escompte rationnel ? Quel est le taux effectif dans les 2 cas ? L’escompte Explication : Escompte commercial : 20 000 x 7% x 60/360 = 233,33 Escompte rationnel : (20 000 x 7% x 60/360) / (1+7% x 60/360) = 230,64 L’escompte Le taux effectif de l’escompte rationnel est bien de 7% car les intérêts sont postcomptés. Le taux effectif de l’escompte commercial, qui est un intérêt précompté est : r = r’ / (1 – r’n) = 7% / (1 – 7% x 60/360) = 7,08% L’escompte Le taux effectif de l’escompte rationnel est bien de 7% car les intérêts sont postcomptés. Le taux effectif de l’escompte commercial, qui est un intérêt précompté est : r = r’ / (1 – r’n) = 7% / (1 – 7% x 60/360) = 7,08% Le découvert Explication : Le recours au découvert, ou avance en c/ct (compte courant) se traduit par un compte débiteur. La banque accorde un plafond de découvert, négocié annuellement avec l’entreprise. Le grand avantage du découvert est sa souplesse d’utilisation : le crédit s’adapte parfaitement et instantanément aux besoins uploads/Finance/ mathematiques-financieres-357.pdf