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1 Page de garde Paul Carricano Université Paris Dauphine Master2 Actuariat Prom

1 Page de garde Paul Carricano Université Paris Dauphine Master2 Actuariat Promotion 2011 Modélisation de capital en assurance non-vie: impact de l’estimation de paramètre sur l’exigence de capital. Application à deux lignes de business dépendantes 2 3 RESUME La mise en place de la nouvelle réglementation Solvabilité II impose de nouvelles règles de calcul pour l’exigence de marge de solvabilité des compagnies d’assurance. De plus en plus, les sociétés d’assurance sont amenées à mettre en place un modèle interne pour modéliser leurs cash-flows et éventuellement déterminer le montant de capital exigé par les régulateurs. Dans ce cadre, ce mémoire présente dans un premier temps la modélisation de capital pour une société d’assurance non-vie et s’intéresse ensuite à l’étude de l’impact de l’estimation de paramètres sur l’exigence de capital. Pour cela, nous étudions deux lignes de business dépendantes, dont nous estimons les paramètres par une approche type Maximum de vraisemblance et une approche Bayésienne. Nous étudions l’impact de chacune de ces méthodes sur les mesures du risque ainsi que la convergence des deux méthodes en fonction de la taille de l’échantillon de données. Ensuite, nous nous intéressons à la dépendance entre les deux lignes de business, on utilise ici la théorie des copules, dont nous étudions également différentes méthodes de paramétrisation, la méthode des moments avec le Tau de Kendall, la méthode CML ou Canonical Maximum Likelihood et enfin la méthode Bayésienne, dont nous étudions également la convergence en fonction de la taille de l’échantillon. Nous concluons sur un calcul simplifié de l’exigence de capital suite à l’utilisation des différentes approches. Mots clés : Modélisation de capital, estimation de paramètres, estimation bayésienne, copules 4 ABSTRACT The setting up of the new regulation Solvency II is fixing new rules of calculation for the solvency margin requirements of insurance companies. Increasingly, insurance companies are building internal models to simulate their cash flows and calculate the amount of capital required by regulators. In this framework, this dissertation describes first the capital modeling for a general insurance company and then studies the impact of parameter estimation on capital requirement. To do that, we study two dependent lines of business, of which we calculate the parameters by a maximum likelihood approach and a Bayesian approach. We study the impact of each method on risk measures and the convergence between the two methods varying the size of the sample of data. Then, we look at the dependency between the lines of business, we use the copula theory, of which we calculate the parameters by different approaches, moment’s method with the use of Kendall’s Tau, the Canonical Maximum Likelihood method and the Bayesian approach, we also study the convergence of these methods varying the size of the sample. We conclude on a simplified calculation of the capital requirement considering each of these approaches. Key words: Capital Modelling, parameter estimation, Bayesian estimation, copulas 5 NOTE DE SYNTHESE Un peu plus d’un an avant l’arrivée de Solvabilité II, les règles d’exigence de marge évoluent. Le calcul de l’exigence de capital se complexifie et de plus en plus d’entreprises sont amenées à mettre en place un modèle interne pour modéliser leur charges et produits et ainsi déterminer le montant de capital à détenir pour satisfaire la règlementation. Nous nous plaçons ici dans le cadre d’une société d’assurance non-vie. L’inversion du cycle de production implique que les entrées et sorties d’argent d’une compagnie d’assurance ne sont pas connues à l’avance, la survenance des sinistres par exemple est aléatoire et il est impossible de connaître exactement le montant des indemnités à verser. De même, certaines entrées d’argent telle que les commissions de réassurance dépendent de la sinistralité et ne sont pas nécessairement connues en début d’exercice. Pour pallier à ce problème, l’entreprise d’assurance est obligée de simuler ses cash-flows selon des distributions de probabilité au moyen d’un modèle interne. Nous travaillons ici avec une approche de type Monte-Carlo, c'est-à-dire que nous réalisons un nombre important de simulation des variables aléatoires afin de prendre en considération toutes les éventualités possibles. L’exigence de capital est déterminée à partir du résultat de l’assureur, pour modéliser ce dernier, nous devons prendre en compte différents aspects importants d’une société d’assurance non-vie dans notre modèle :  Un générateur de scénario économique : il permet de simuler l’évolution des taux d’intérêt, des rendements et volatilité des actifs ou encore de l’inflation et permet ainsi de modéliser le rendement des actifs de la société.  Le risque de provisionnement : il faut ici prendre en compte le coût des sinistres déjà survenus mais qui ne sont pas complètement indemnisés, pour cela nous utilisons la méthode du Chain Ladder.  Le risque de souscription : il s’agit du coût des sinistres qui ne sont pas encore survenus, mais qu’on estime pour l’exercice en cours  Le risque marché : c’est une conséquence de l’évolution incertaine des taux d’intérêt ou des rendements des actifs  Le risque de crédit : c’est le risque qu’un agent qui nous doit de l’argent fasse défaut et soit dans l’impossibilité de nous payer  Le risque opérationnel  La réassurance 6 Tous ces éléments sont incertains et font l’objet d’une modélisation dans un modèle interne et permettent d’obtenir un nombre important de simulations possibles pour le résultat de l’assureur. Dans le cadre de la modélisation de capital, l’objectif de la société d’assurance est d’obtenir une exigence de capital minimale, tout en respectant la réglementation, car il s’agit d’une importante quantité d’argent immobilisée. L’exigence de capital est déterminée en appliquant une mesure du risque sur le résultat de l’assureur, nous utilisons ici la Value at Risk et la Tail Value at Risk. Pour déterminer le coût de chacun de ces risques, nous utilisons des distributions de probabilité dont les paramètres sont estimés par des méthodes statistiques. L’objet de ce mémoire, après une présentation de la modélisation de capital et des modèles internes, est d’étudier l’impact de l’estimation de paramètres sur l’exigence de capital. Pour cela, nous étudions différentes méthodes de paramétrisation pour deux lignes de business que nous traitons à la manière de sinistres attritionels, nous étudions ensuite la dépendance entre ces deux lignes de business et plus particulièrement différentes méthodes de paramétrisation de celle-ci. L’étude est réalisée à partir de triangles de sinistres de l’année 2010, publiés dans le rapport financier annuel de ACE Group. Nous étudions dans un premier temps l’estimation des paramètres d’une distribution de sinistre attritionnels par deux approches, l’estimation classique du maximum de vraisemblance et l’estimation Bayésienne, et comparons l’impact de ces deux méthodes sur les mesures du risque. Pour cela, nous réalisons tout d’abord des tests d’adéquation de loi et utilisons ici les distributions Gamma et Log-Normale pour modéliser les sinistres. Nous travaillons sur un échantillon de 10 Loss Ratios. Il en ressort que l’utilisation de l’estimation Bayésienne augmente significativement la valeur des mesures du risque, et ce, pour les deux distributions étudiées. Aussi, l’utilisation de la distribution Gamma par rapport à la Log-Normale semble plus favorable pour l’assureur puisqu’elle diminue sensiblement la valeur des deux mesures du risque. Nous constatons également que dans le cas étudié, les résultats de la Value at Risk et de la Tail Value at Risk sont très similaires. Nous étudions également la convergence entre les deux méthodes d’estimation. Pour cela, nous nous intéressons à l’écart relatif entre les VaR et TVaR obtenues pour chacune des estimations, pour un échantillon de taille variable. Il en ressort que l’écart relatif entre les deux méthodes d’estimation diminue quand la taille de l’échantillon augmente. Cependant, pour un échantillon de taille réduite, l’estimation Bayésienne peut fortement augmenter la valeur de l’exigence de capital. Dans un second temps, nous continuons à travailler sur l’estimation de paramètres mais nous travaillons cette fois sur la dépendance entre nos deux lignes de business. Pour cela, 7 nous utilisons la théorie des copules, en particulier la copule Gaussienne et la copule de Gumbel. Nous étudions ici trois méthodes d’estimation des paramètres des copules, la méthode des moments avec l’utilisation du Tau de Kendall, l’estimation Canonical Maximum Likelihood (CML) et l’estimation Bayésienne. Il en ressort que les trois méthodes d’estimation donnent des résultats significativement différents, alors que la méthode CML et la méthode des moments nous donne une unique valeur pour le paramètre de la copule, l’estimation Bayésienne nous fournit toute une distribution du paramètre de dépendance. Nous étudions également ici la convergence des méthodes d’estimation en fonction de la taille de l’échantillon. Il en ressort que les estimations CML et Bayésienne convergent de manière assez régulière quand la taille de l’échantillon augmente pour les deux copules étudiées. En revanche, quand on limite la taille de l’échantillon à 50 données d’historique, la convergence de l’estimation par la méthode des moments avec les deux autres méthodes est assez mauvaise. Enfin, nous concluons cette étude en calculant l’exigence de capital pour nos deux lignes de business, pour les différentes méthodes d’estimation de paramètre présentées ci-dessus. Pour étudier l’impact de la méthode d’estimation sur l’exigence de capital, nous nous intéressons à l’écart relatif obtenu pour chacune des méthodes d’estimations. uploads/Finance/ memoire-carricano-paul.pdf