Modèle d'évaluation sous Black-Scholes et couverture Yves Rakotondratsimba Octo

Modèle d'évaluation sous Black-Scholes et couverture Yves Rakotondratsimba October 12, 2011 c ⃝Yves Rakotondratsimba Contents 1 Modèles d'évaluation par arbre 2 1.1 Modèle binomial à une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Modèle binomial à deux périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Modèle binomial à n périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Modèle d'évaluation de Black et Scholes 4 2.1 Formules de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Option de type américain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Evaluation par Simulation de Monte Carlo 7 4 Remarques Importantes 8 4.1 Cas de dégagement de dividendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Options exotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 Paramètres de sensibilités des Options 9 5.1 L'indicateur △: sensibilité de la valeur de l'option au cours de l'action . . . . . 9 5.2 L'indicateur Θ et le passage du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3 L'indicateur Γ: sensibilité de la valeur au cours de l'action . . . . . . . . . . . 10 5.4 L'indicateur V: sensibilité de la valeur de l'option à la volatilité de l'action . . 11 5.5 L'indicateur ρ: sensibilité de la valeur de l'option au taux d'intérêt . . . . . . . 11 6 Smile de volatilité 12 6.1 Prix d'une option résultant d'un modèle et son prix de marché . . . . . . . . . 12 6.2 Volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.3 Smile de volatilité et nappe de volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.4 Volatilité implicite et Evaluation-couverture des options . . . . . . . . . . . . . 14 6.5 Volatilité historique et volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7 Couverture en delta-gamma neutre d'un portefeuille d'un call 14 1 On considère le problème de l'évaluation du prix C0 (à l'instant initial 0) d'un call de type européen sur une action XXX, de strike K et d'échéance T. Il existe quatre principales méthodes pour approcher la valeur de C0: 1. évaluation par utilisation des arbres, 2. évaluation analytique, 3. évaluation par simulation de Monte Carlo, 4. évaluation par résolution d'équations aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours nous allons nous focaliser seulement sur les trois premières approches. La résolution par EDP rejoint en quelque sorte l'approche par les arbres. Pour simpli er on suppose que l'action XXX sous-jacente ne détache pas de dividende durant la vie de l'option (de type européen). L'évaluation de C0 dépend en premier lieu de l'hypothèse sur l'évolution du cours de l'action. 1 Modèles d'évaluation par arbre 1.1 Modèle binomial à une période On ne considère pas d'instant intermédiaire entre les instants 0 et T, et de plus à l'échéance le cours est supposé ne prendre comme valeurs que uS ou bien dS, où 0 < d < 1 < u et S désigne le cours à l'instant 0. Donc uS (resp. dS) correspond à la hausse (resp. baisse) du cours de l'action XXX. La valeur de ce call à l'instant T est cu = (uS −K)+ ou bien cd = (dS −K)+. A n de se couvrir (çàd être en mesure de livrer les titres en cas d'évolution défavorable du cours), le vendeur de cette option décide de détenir une certaine proportion △de l'action XXX dès l'instant 0. Ainsi à l'échéance T (où sa position doit être débouclée) il doit débourser ou encaisser le montant de △uS −cu ou bien △dS −cd. Le vendeur ne court aucun de risque si △uS −cu = △dS −cd. Ce qui signi e que la proportion doit être choisie initialement de sorte que △= cu −cd (u −d)S . (1) La richesse du vendeur, à l'instant 0, est C0−△S. Le vendeur aurait pu aussi placer directement cette somme en monétaire avec le taux (continu) sans risque r. Il ne serait indiérent à l'une ou l'autre forme d'investissement que si exp[rT](C0 −△S) = (CT −△ST). (2) La relation (2) traduit l'hypothèse d'Absence d'Opportunité d'Arbitrage (AOA), qui combinée avec le choix de △comme dans (1), entraine par exemple exp[rT](C0 −△S) = (cu −△uS). On en déduit que C0 = exp[−rT] h cup + cd(1 −p) i (3) où p = exp[rT] −d u −d . (4) L'équation (3) ne fait pas intervenir les probabilités de hausse et baisse du cours. Mais comme 0 < p < 1, il est naturel d'interpréter p (resp. 1 −p) comme une probabilité de hausse (resp. baisse) du cours. Ainsi (3) signi e que le prix du call est la valeur actualisée de 2 l'espérance du pay-o de l'option avec la probabilité dite risque neutre p. Relativement à cette probabilité, on peut écrire C0 = exp[−rT]E h (ST −K)+ i . (5) Avec l'interprétation de p comme probabilité de hausse du cours, on a uSp+dS(1−p) = E[ST]. Ce qui entraine, avec (4), que E[ST] = S0 exp[rT]. (6) Cette dernière relation signi e que le cours futur ST croit en moyenne avec le taux sans risque r. Ainsi dire que p est la probabilité de hausse du cours est équivalent à supposer que le rendement de l'action est égal au taux d'intérêt sans risque r. Dans un univers risque-neutre tous les individus sont indiérents au risque et ils n'exigent donc pas de compensation particulière. La relation (5) est un exemple d'un principe général d'évaluation d'option connu sous le nom d'évaluation risque-neutre. Ce principe dit que l'on peut considérer que le monde est neutre au risque lorsque on évalue une option. Le prix de ce dernier est toujours correct même dans le monde réel où les investisseurs sont averses aux risques et demandent des compensations nancières suivant le niveau de risque qu'ils acceptent d'assumer. On peut aussi sans di culté adpater les raisonnements utilisés dans (3) pour obtenir le prix d'un put européen. 1.2 Modèle binomial à deux périodes Pour un modèle binomial à deux périodes, entre les instants initial et nal 0 = t0 et T = t2, on prend en considération l'instant intermédiaire t1 = T 2 . Ainsi on pose St0 = S et le cours St1 à l'instant t1 est soit égal à uSt0 ou bien dSt0. A l'instant t2 le cours St2 est dé ni par uSt1 ou bien dSt1, de sorte que l'on a comme cours nal l'un des u2S, d2S et dS. Le prix ou la valeur à l'instant t0 du call est C0. A l'instant t1 le call vaut cu ou bien cd de sorte que comme dans la relation (3) on a C0 = exp[−r T 2 ] h cup + cd(1 −p) i . Les valeurs possibles du call à l'instant t2 peuvent être notées par cuu, cud = cdu et cdd. Avec des arguments comme ceux utilisés pour (3), on a alors cu = exp[−r T 2 ] h cuup + cud(1 −p) i et cd = exp[−r T 2 ] h cudp + cdd(1 −p) i . Il en résulte que C0 = exp[−rT] h cuup2 + 2cudp(1 −p) + cdd(1 −p)2i . (7) Ici p2, p(1 −p) et (1 −p)2 uploads/Finance/ modele-black-scholes-oct-2011.pdf

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• Détails
• Publié le Jan 03, 2021
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
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