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Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 1 Introduction La difficu

Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 1 Introduction La difficulté pour une compagnie d’assurance de choisir le meilleur schéma de réassurance est connue, quelque soit la branche concernée. Les arguments qui conduisent l’assureur à faire appel à un cessionnaire sont multiples. Pour orienter sa décision, l’assureur s’appuie généralement sur les antécédents de sinistres, les historiques de règlements auxquels il peut accéder. La sinistralité empirique est donc connue ; l’assureur va l’utiliser afin de guider son raisonnement et de mener à bien ses recherches de stratégies optimales de réassurance. Plusieurs mesures de risque seront considérées, en commençant par la variance de la sinistralité à la charge de l’assureur. Puis, dans le but d’évaluer les capitaux initiaux à détenir pour satisfaire à la solvabilité de la société, la probabilité de ruine sera privilégiées. Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 2 La probabilité du ruine et la priorité optimale Etant donné que le montant des dépenses de l’assureur occasionnées par les sinistres au cours d’une certaine période est sujet à fluctuations, et que dans le même temps la prime encaissée est fixée, il peut arriver que dépasse le montant des recettes. On dira dans ce cas qu’il y a ruine de l’assureur. Plus communément, si un excédent des dépenses sur les recettes apparaît, tout en restant dans des limites raisonnables, le gestionnaire parlera de perte d’exploitation. D’importantes pertes d’exploitation conduisent alors à l’insolvabilité de la société d’assurance. Evidemment, l’assureur ne souhaite pas se trouver face à de telles pertes, mais il ne peut en exclure l’éventualité. Il doit donc chercher à en évaluer la probabilité de survenance et à la réduire si nécessaire. Considérons qu’au cours d’une année ont lieu sinistres, notés ,…, . On suppose que ces sinistres sont indépendants et identiquement distribués. La dépense annuelle totale occasionnée par ces évènements est alors : . On suppose également que, pour régler les montants des sinistres, l’assureur ne dispose que de la prime pure, c’est-à-dire la prime nette de chargements technique et commercial. Cette prime doit, en moyenne, permettre à l’assureur de faire face au coût cumulé des sinistres. On peut donc écrire Ainsi, nous allons pouvoir introduire la notion de fonction de ruine. Il s’agit de la probabilité pour que les dépenses annuelles dépassent les recettes d’un montant positif ou nul. Elle se définit mathématiquement ainsi : En particulier, pour et en intégrant un taux de chargement , on obtient : Cette dernière probabilité est souvent appelée probabilité de ruine de l’assureur, à horizon d’une année. Utilisée sur l’ensemble des contrats d’assurance que gère l’assureur, elle mesure le risque d’insolvabilité de ce dernier. Elle peut aussi être employée dans le cadre plus limité d’une certaine branche de contrats et permet de mesurer le risque que cette catégorie soit déficitaire en fin de période. Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 3 A- Approche discrète de la probabilité de ruine Majorations élémentaires de la probabilité de ruine Dans cette partie, nous allons indiquer quelques inégalités qui fourniront une majoration de la probabilité que le montant des sinistres dépasse une valeur donnée. Ce type d’inégalité est utile lorsqu’on ne dispose pas d’une information complète sur la loi du montant total des sinistres ou lorsque l’on ne se trouve pas dans les conditions d’application de l’approximation normale. Nous allons commencer par rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ainsi que des extensions simples, en montrant comment on peut l’utiliser pour majorer la probabilité de ruine et, plus généralement, la fonction de ruine de l’assureur. 1- Majoration par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev Cette inégalité permet d’évaluer les fluctuations d’une variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Soit : K : le fonds propres N : nombre de risques X : montant de risque dont l’espérance μ et l’écart type σ S : la charge de sinistralité totale tel que ρ : le taux de chargement pour l’assureur tel que : la prime après les chargements La probabilité de ruine s’écrit : D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Pour tout , D’où : Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 4 Tel que : Ou est le coefficient de sécurité 2- Modèle discret de De Finetti Savoir que la solvabilité de l’assureur est quasiment certaine à l’issue d’une année d’activité ne suffit pas. Il faut que l’entreprise puisse assumer son activité sur un horizon plus lointain. Les modèles de solvabilité à long terme sont délicats, car ils supposent des hypothèses de stabilité des caractéristiques du risque et conduisent à des problèmes mathématiques difficiles à résoudre. Le modèle simplificateur de De Finetti donne un majorant de la probabilité de ruine à long terme, dépendant simplement de la fortune initiale de l’assureur et d’un indice de risque. Nous nous intéressons à la situation financière de l’assureur, et précisément à l’évolution du résultat technique au cours des années. La charge de sinistres de l’exercice est notée . Soient l’encaissement annuel net des primes et le résultat de l’exercice . La ruine de l’assureur intervient au premier moment où l’on constate négatif. Nous considérons qu’à l’origine de l’observation, le montant des capitaux propres est égal à . On a alors : On désigne par la variation du résultat, c’est-à-dire On suppose les indépendants et identiquement distribués. On introduit la formule de la probabilité de ruine à long terme en notant  la probabilité que l’un au moins des t premiers exercices soit déficitaire : On voit facilement que est croissante en . De plus, la fonction est bornée par . De Finetti a établi, dans le cas d’un modèle à temps discret, l’inégalité suivante : Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 5 Où est appelé « indice de risque » et est comme la solution non nulle de l’équitation La solution de l’équation existe et est unique. La fonction génératrice des moments de est , où on désigne par la fonction de répartition . 3- Le modèle de Cramer-Lundberg Le modèle d’où sont dérivés les résultats principaux de la théorie de la ruine est le modèle Cramer-Lundberg. Ce modèle présente la situation nette d’une entreprise d’assurance à une date t, , différence entre ce qu’elle doit et ce qui lui dû, comme suit : Où - u sont les fonds propres de l’entreprise à t=0 - est le processus du montant cumulé des sinistres qu’elle a réglés à la date t. il s’agit d’un processus Poisson composé. L’intensité du processus de Poisson est notée λ. Le coût unitaire des sinistres admet comme espérance μ, comme fonction de répartition F. on note également . - est le taux instantané de primes reçues par la compagnie. θ est le taux de chargement des primes pures. Par définition, l’entreprise est en ruine lorsque L’objectif est d’étudier la distribution de la variable aléatoire réelle T est donc la date de la ruine, éventuellement infinie Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 6 On note La probabilité d’être ruiné avant la date t en disposant d’un montant de fonds propres u à t=0. Est la limite de cette probabilité lorsque on introduit maintenant le coefficient d’ajustement, ou coefficient de Lundberg, noté R, comme étant la solution strictement positive, si elle existe, de l’équation en r suivante : La forme de la courbe associée à r est analogue selon les distributions de X, seule l’intensité de la convexité diffère. Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 7 Ce coefficient, lorsqu’il existe, nous permet d’obtenir un majorant de la probabilité de ruine. L’inégalité de Lundberg nous énonce : L’assureur a la possibilité de céder ses risques en excess loss avec une priorité M. le réassureur évalue ses primes son le principe de l’espérance mathématique. Il utilise un coefficient de sécurité δ. L’assureur fixe sa priorité M de façon à maximiser le dividende versé (continûment) d(M) sous contrainte de maintenir le majorant de Lundberg de sa probabilité de ruine en-dessous d’un seuil donné. A fonds propres donnés, r est donc contraint. L’assureur maximise : Il s’agit du taux de primes qui peut être distribué, donc du taux brut net de la prime de réassurance et du taux qu’il faut conserver, , pour avoir un coefficient r suffisant. est donné par la contrainte sur r en utilisant la définition du coefficient de Lundberg : Donc Donc la priorité optimale M est : M étant inversement proportionnelle a R, elle est proportionnelle aux fonds propres : plus une entreprise est riche, plus elle peut avoir une rétention élevée. Détermination de priorité optimale pour un Exess Loss 8 Etude descriptive sur les données 1- Ajustement du la loi de sinistre Le résultat d’ajustage Distribution Paramètres Lognormal Weibull Pareto Normal La qualité d’ajustement Distribution Kolmogorov Smirnov Anderson Darling Khi-Carré Statistique Rang Statistique Rang Statistique Rang Lognormal 0,03837 1 83,098 1 452,02 1 Weibull 0,10719 2 922,66 3 3326,2 2 Pareto 0,11021 3 538,11 2 3466,1 3 Normal 0,36283 4 5277,7 4 32944,0 4 La qualité d’ajustement – Loi Lognormal Qualité d’ajustement – Loi Lognormal Kolmogorov Smirnov Taille de l’échantillon Statistique Valeur de P Rang 23391 0,03837 0 1 uploads/Finance/ priorite-optimale.pdf