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1 Réponse dynamique d’une fondation encastrée soumise à des ondes sismiques obl

1 Réponse dynamique d’une fondation encastrée soumise à des ondes sismiques obliques S Messioud *, B Sbartai ** D Dias *** , U.S. Okoyay**** * Université de Jijel, BP 98 Ouled Aissa, 18000 Jijel, Algerie. smessioud@yahoo.fr ** Université de Skikda, Route El-Hadeik BP26,21000 Skikda, Algerie *** Université Joseph-Fourier LHTE Grenoble, France; **** Entrprise PINTO Fougères, France RÉSUMÉ : Cette étude analyse l’influence de l’interaction sol-structure sur la réponse sismique tridimensionnelle d’une fondation de forme quelconque, encastrée dans un sol homogène viscoélastique limité par un substratum. Les vibrations proviennent seulement d’ondes sismiques harmoniques incidentes SV et SH. L’étape clef étant la caractérisation de l’interaction sol-fondation à travers la matrice impédance, les forces appliquées aux déplacements résultants d’une part et la matrice de mouvements reliant le vecteur déplacement de la fondation au vecteur des amplitudes de mouvement de champ libre d’une autre part. L’approche mathématique est basée sur la méthode des équations intégrales dans le domaine fréquentiel en utilisant le formalisme des fonctions de Green de (Kausel et Peeck 1982). ABSTRACT: This study analyzes the influence of soil-structure interaction on seismic response of three-dimensional rigid foundation embedded in a homogeneous visco-elastic soil limited by a bedrock. The vibrations come only from harmonic seismic waves P, SV, SH and R. The key step is the characterization of soil-foundation interaction through the impedance matrix, the forces applied to the resulting displacement of one part and the matrix of movements connecting the displacement vector of the foundation to amplitudes vector field of free movement of another part. The mathematical approach is based on the method of integral equations in the frequency domain using the formalism of Green functions of (Kausel Peeck and 1982). MOTS-CLÉS : Propagation des Ondes, BEM, TLM, Interaction Sol-Structure KEYW ORDS : Wave Propagation, BEM, TLM, Soil-Strucure Interaction XXXe Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 2 1. Introduction Plusieurs méthodes ont été proposées pour résoudre le problème d'interaction sol-structure. Pour simplifier le problème, des méthodes d'analyse linéaire ont été développées. L'une des méthodes la plus couramment utilisée est la méthode de sous-structuration permettant de décomposer le problème en deux parties (Kausel et al, 1978), (Aubry et al, 1992) et (Pecker, 1984). Cette approche permettant d’étudier la réponse dynamique des éléments superstructure et la fondation (sous structure) séparément. L'analyse d’un système de fondations peut ainsi être réduite à l’étude de la rigidité dynamique à l’interface sol-fondation (généralement connue sous le nom de fonction d'impédance) et des forces de mouvement due aux ondes incidentes. L'interaction cinématique de la fondation sous ondes incidentes est mise en œuvre sous la forme d'une matrice de mouvement. Plusieurs études ont été effectuées sur la réponse dynamique d’une fondation en utilisant la méthode des Eléments Finis et la Méthode des Eléments de Frontières. (Wong et Luco, 1978) ont montré l'importance de l'effet de la non verticalité des ondes harmoniques SV, SH sur la réponse d’une fondation. En utilisant l’approche d'équation intégrale basée sur les fonctions de Green. La méthode des éléments finis a été appliquée par (Kausel et al, 1978) et (Kausel et Roesset, 1981) en déterminant le comportement des fondations rigides placées ou encastrées dans un sol stratifié limité par un substratum rigide. Dans cette approche le déplacement du champ est formulé en tant qu’équations intégrales en termes de fonctions de Green (Qian et Beskos, 1996), (Karabalis et Mohammadi, 1991) et (Sbartai et Boumekik, 2008). (Celebi et al, 2006) ont utilisé la méthode des éléments de frontières avec une formulation intégrale (BIEM) pour calculer les impédances dynamiques des fondations. Récemment, (Mckay, 2009) a utilisé le théorème de réciprocité basé sur la méthode (BIEM) dans l’analyse de l’influence de l’interaction sol-structure sur la réponse sismique des fondations. Dans ce travail, la solution est formulée par la méthode des Eléments de Frontière dans le domaine fréquentiel avec des éléments constants quadrilatéraux et la méthode des couches minces est proposée pour l’analyse de l’influence de l’interaction sol-structure sur la réponse sismique des fondations. Les résultats sont présentés sous forme des déplacements, des rotations et des torsions en fonction de la fréquence adimensionnelle, l’angle d’incidence vertical et horizontal et l’encastrement de la fondation. 2. Réponse d’une fondation à des ondes d’origine sismique La fondation considérée est supposée être rigide, de forme carrée et placée à la surface d’un sol homogène où hétérogène limité par un substratum rigide Figure 1. Le sol de hauteur Ht, est supposé être linéaire viscoélastique caractérisé par sa masse volumique ρ, son module de cisaillement , son coefficient d'amortissement β et son coefficient de poisson ν. La fondation est soumise à des ondes sismiques obliques harmoniques incidentes variant en fonction du temps P, SV, SH et R. Réponse dynamique d’une fondation encastrée soumise à des ondes sismiques obliques 3 Figure 1. Géométrie d’une fondation soumise à des ondes sismiques harmoniques La matrice déplacement total du sol est obtenue par application successive des charges unités réparties sur les éléments constituants le massif du sol discrétisé. Les déplacements dans le sol s’expriment alors par.   t G u  [1] Les vecteurs  u et  t sont les valeurs nodales des amplitudes des déplacements et de tractions respectivement à l'interface sol-fondation. [G] est la matrice de flexibilté du sol. 2.1 Détermination des fonctions de Green par la méthode des couches minces (TLM) Le principe de la détermination de la matrice de flexibilité est représenté par la Figure 2. Le massif du sol est discrétisé horizontalement et verticalement. La discrétisation verticale du massif consiste à subdiviser une couche quelconque en un certain nombre de sous-couches de hauteur hj qui ont les mêmes caractéristiques physiques. Celle-ci est supposée horizontale, viscoélastique et isotrope. Cette discrétisation n’englobe pas le substratum situé à la profondeur Ht qui est considéré infiniment rigide. A l’intérieur d’une sous-couche donnée, le déplacement est supposé être une fonction linéaire des déplacements aux interfaces supérieures et inférieures. La discrétisation horizontale consiste à subdiviser toute interface horizontale du massif du sol en éléments carrés de sections Sk. Ces éléments de frontières constants où le déplacement moyen est remplacé par le déplacement centre et la répartition des contraintes est supposée uniforme Figure 2. Si des charges réparties unités (suivant la direction x, y, z) sont appliquées au disque j (les éléments carrés sont remplacés Bedrock XXXe Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 4 par des disques), les fonctions de Green au centre de l’élément i peuvent être déterminés comme le suivant : Le massif de sol occupé par la fondation est un milieu stratifié reposant sur un substratum indéformable, l’interface des sous couches est supposée horizontale définies par z = z1, z2, ... , zn et la sous-couche j définie par zn <z <zn+1, comme le montre la Figure 3. Chaque sous-couche (n) d'une épaisseur hn est supposée viscoélastique. Figure 2. Modèle de calcul des fonctions de Green Figure 3. Géométries des couches de sol (B) Selon la théorie des couches minces de Lysmer et Waas (1972), les déplacements dans chaque sous-couche varient de façon linéaire d’un plan à un autre et restent continus dans la direction considérée (x, y, z). Ainsi, les déplacements dans chaque sous-couche sont obtenus par interpolation linéaire des déplacements nodaux à l’interface de la sous-couche (n). Les fonctions de Green dans le domaine des fréquences sont obtenues après inversion spectrale de la matrice de rigidité de chaque sous couche (Kausel et Peek 1982) par la forme compacte:       N l l nl j ml i mn ij k k a G 2 1 2 2    [2] avec : ml  , nl  sont les valeurs propres et les vecteurs propres, qui sont en fonction de l’élévation m (zl) où les déplacements sont calculés et de l’élévation n (zl) où les charges sont appliqués. Réponse dynamique d’une fondation encastrée soumise à des ondes sismiques obliques 5 1   a si   et l k k a   si   i, j = x, y, z k, kl : nombre d’ondes m : représente l’interface où les fonctions de green sont calculées. n : représente l'interface où la charge est appliquée. 2.2 Modèle mathématique de calcul Lorsque la fondation est en place, elle impose aux différents éléments du sol des déplacements compatibles avec des mouvements de corps rigide. Le sol et la fondation sont reliés par la condition de compatibilité suivante :   R u [3] Avec : [R] est la matrice de transformation, u déplacements de sol a l’interface sol-fondation et =x, y, z, x, y,z est le vecteur de déplacement; i(i=x, y, z) représente les translations et i (i=x, y, z) les rotations de fondation. Si on note  P le vecteur charge appliqué à la fondation, l’équilibre entre ce dernier et les forces (les valeurs des amplitudes de tractions t) réparties sur les éléments discrétisant le volume de la fondation s’exprime par la relation suivante :  t R P t  [4] La relation qui lie les forces exterieures appliquées et les déplacements résultants uploads/Finance/ reponse-dynamique-d-x27-une-fondation-10-pages.pdf