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1 R Ré ép pu ub bl li iq qu ue e T Tu un ni is si ie en nn ne e P Pr ré és si i

1 R Ré ép pu ub bl li iq qu ue e T Tu un ni is si ie en nn ne e P Pr ré és si id de en nc ce e d du u G Go ou uv ve er rn ne em me en nt t E Ec co ol le e N Na at ti io on na al le e d d’ ’A Ad dm mi in ni is st tr ra at ti io on n 2 24 4, , A Av ve en nu ue e d du u D Dr r C Ca al lm me et tt te e M Mu ut tu ue el ll le e- -v vi il ll le e 1 10 08 82 2 T Tu un ni is s T Té él l. . ( (+ +2 21 16 6) ) 8 84 48 8 3 30 00 0 F Fa ax x ( (+ +2 21 16 6) ) 7 79 94 4 1 18 88 8 w ww ww w. .e en na a. .n na at t. .t tn n S ST TA AT TI IS ST TI IQ QU UE E E ET T C CA AL LC CU UL L D DE E P PR RO OB BA AB BI IL LI IT TE E ( (E EX XA AM ME EN NS S & & E EX XE ER RC CI IC CE ES S) ) P Pa ar r H Ha as ss se en n M MZ ZA AL LI I P Pr ro of fe es ss se eu ur r e en n m mé ét th ho od de es s q qu ua an nt ti it ta at ti iv ve es s S Se ep pt te em mb br re e 2 20 01 13 3 2 Exercice 1 Enoncé 1 Durant le mois d’avril, nous avons relevé, pour un échantillon d’étudiants de la première années sciences économiques et gestion, le nombre de jours d’absences : Nombre de jours d’absences Nombre d’étudiants 0 5 1 8 2 6 3 3 4 2 5 1 1°) Représenter graphiquement cette distribution. 2°) Déterminer la fonction de répartition. 3°) Calculer le mode, la médiane et la moyenne arithmétique de cette distribution. 4°) Déterminer le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence : i) inférieur à 4 ? ii) au plus égal à 3 ? iii) inférieur à 4 et supérieur ou égal à 1 ? 3 Corrigé 1 Nombre de jours d’absences Effectifs ni Fréquences fi Fréquences cumulées i F 0 5 0,2 0 1 8 0,32 0,2 2 6 0,24 0,52 3 3 0,12 0,76 4 2 0,08 0,88 5 1 0,04 0,96 Total 25 1 1 Diagramme en bâtons des effectifs 1) Le caractère étudié ici est quantitatif discret (nombre d’absences de chaque étudiant), alors la représentation graphique correspondante est le diagramme en bâtons. 2) La formulation de la fonction de répartition de cette distribution statistique est :                         5 si 1 5 4 si 96 , 0 4 3 si 88 , 0 3 2 si 76 , 0 2 1 si 52 , 0 1 0 si ,2 0 0 si 0 ) ( x x x x x x x x F 5 1 2 3 ni 0 1 2 3 4 5 Nombre d’absences 6 8 4 3)  Le mode de cette série est : Mo=1. Il signifie que pour la plupart des étudiants ont une seule abscence.  La médiane, dans ce cas, correspond à la cinquième valeur : 1  Mé . En effet, la série comporte un nombre impair de valeurs, soit 25 valeurs, la médiane sera la 13ème valeur.  5 44 333 222222 1 1111111 00000 ième 13  La moyenne de cette distribution est : 68 , 1 25 42 6 1     N x n x i i i . Ce résultat indique que le nombre moyen d’absence est de l’ordre de 1,68 (soit 168 jours d’absence en moyenne par 100 étudiants). 4°) Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence inférieur à 3 est égal à : 19 6 8 5    . Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence au plus égal à 3 est : 22 3 6 8 5     . Le nombre d’étudiants ayant un nombre d’absence inférieur à 4 et supérieur ou égal à 1 est: 17 3 6 8    . Exercice 2 Enoncé 2 La répartition de 100 ménages selon leurs dépenses de consommation mensuelles exprimées en dinars se présente comme suit : Classes de dépenses Nombre de ménages [20-40[ 15 [40-60[ 20 [60-100[ 20 [100-200[ 45 5 1°) Quelle est la nature de ce caractère. 2°) Représenter graphiquement cette distribution. 3°) Calculer la moyenne arithmétique. 4°) Déterminer la proportion de ménages ayant des dépenses mensuelles appartenant à l’intervalle suivant   x x x x     , où x  représente la moyenne arithmétique et x désigne l’écart type. Corrigé 2 Le caractère étudié est la dépense de consommation mensuelle. Les modalités sont les classes de dépenses. 1) Le caractère étudié est quantitatif continu. dépenses de consommation mensuelles ni ai fi Fréquences corrigées c i f ci ni ci 2 i ic n 20-40 15 20 0,15 0,15 30 450 13500 40-60 20 20 0,2 0,2 50 1000 50000 60-100 20 40 0,2 0,1 80 1600 128000 100-200 45 100 0,45 0,09 150 6750 1012500 Total 100 1 9800 1204000 2) La représentation graphique de cette distribution se fait au moyen de l’histogramme. Nous allons représenter l’histogramme des fréquences. Les amplitudes des classes étant inégales, nous devons alors calculer les fréquences corrigées. Pour ce cas, nous retenons la valeur de l’amplitude de référence 20 *  i a . 20 *     i i i i corrigées i a f a a f f 6 Fréquences corrigées 0 0,09 O,1 O,15 0,2 20 40 60 100 200 Classes de dépenses Histogramme des fréquences 3) dinars 98 100 9800    N n c x i i La dépense mensuelle de consommation moyenne par ménage est égale à 98 dinars. 4) Détermination de l’intervalle   x x x x     , , où x  désigne l’écart type.     dinars 35 , 49 9604 12040 ² ² ² 2 1                 x N c n N x c n i i i i x D’où l’intervalle       35 , 47 1 , 8,65 4 35 , 49 8 9 , 35 , 49 98 ,         x x x x Détermination de la proportion P de ménages ayant des dépenses mensuelles appartenant à l’intervalle   x x x x     , : Par interpolation linéaire, on trouve : 236 , 0 ) 65 , 48 ( et 763 , 0 ) 35 , 147 (   F F 7 d’où % 7 , 52 527 , 0 236 , 0 763 , 0 ) 65 , 48 ( - ) 35 , 147 (      F F P Exercice 3 Enoncé 3 Une étude sur la répartition de 700 exploitations ayant chacune une surface inférieure à 450 ha fournit les informations suivantes : 120 exploitations ont une superficie inférieure à 60 ha 190 exploitations ont une superficie inférieure à 120 ha 250 exploitations ont une superficie inférieure à 180 ha 340 exploitations ont une superficie inférieure à 240 ha 480 exploitations ont une superficie inférieure à 300 ha 520 exploitations ont une superficie inférieure à 360 ha 600 exploitations ont une superficie inférieure à 400 ha Calculer la superficie moyenne. Corrigé 3 Pour calculer la surface moyenne d’une exploitation, nous allons d'abord reporter ces informations dans un tableau statistique : Superficie Effectifs cumulés croissants Ni Effectifs ni centres ci ni ci [0 - 60[ 120 120 30 3600 [60 - 120[ 190 70 90 6300 [120 - 180[ 250 60 150 9000 [180 - 240[ 340 90 210 18900 [240 - 300[ 480 140 270 37800 [300 - 360[ 520 40 330 13200 [360 - 400[ 600 80 380 30400 [400 - 450[ 700 100 425 52500 Total 700 171700 ha 28 , 245 171700 700 1 700 1 8 1       i i ic n x . 8 Exercice 4 Enoncé 4 Une enquête statistique chez 1 000 commerçants porte sur le nombre d’heures d’ouvertures hebdomadaire. On a obtenu les résultats suivants : Nombre d'heures Nombre de commerçants [30-35 [ 50 [35-37 [ uploads/Finance/ stat-probabilite-exercice.pdf