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cours de thermodynamique CRME) SHWWDW gaz parfait CHAPITRE 1 Introduction : à q

cours de thermodynamique CRME) SHWWDW gaz parfait CHAPITRE 1 Introduction : à quoi sert ce cours sur le gaz parfait ? Avec les trois premiers cours, nous sommes capables de quantifer les transferts de chaleur et de travail dans deux types de situations. – Le premier cas est celui ou toutes les propriétés du fuide sont connues au début et à la fn de l’expérience. Par exemple, si nous connaissons les propriétés {pression, volume, énergie interne} à l’entrée et à la sortie d’un compresseur et connaissons le transfert de chaleur, alors nous pouvons quantifer la puissance mécanique qu’il consomme par simple addition des quantités d’énergie 1. – Le second cas est celui où nous ne connaissons qu’une partie des propriétés du fuide à la fn de l’expérience. Par exemple, nous souhaitons obtenir une pression donnée à la sortie du compresseur, et nous savons qu’au travers du compresseur le fuide se comporte d’une certaine manière (le fameux pvx = k par exemple). Nous sommes alors capables de calculer le travail efectué, s’il est réversible, à partir du comportement du fuide 2. Savoir résoudre ce second type de problème est bien plus utile. Cela permet par exemple de répondre à la question « quelle énergie maximale peut-on extraire d’un gaz comprimé ? » sans devoir efectuer de mesure expérimentale. Très souvent, la pratique n’impose qu’une 1. Nous utilisons pour cela le premier principe, en système fermé (2/2) ou en système ouvert (3/14). 2. Nous utilisons pour cela une intégrale de certaines propriétés, en système fermé (2/10) ou en système ouvert (3/21). 1 seule condition fnale (une pression de sortie pour une turbine, ou un volume fnal pour un cylindre moteur, par exemple). – D’une part, utiliser la température T pour lier facilement les propriétés {pression, volume, énergie interne} ; – Et d’autre part, savoir quantifer les transferts énergétiques lorsque la seule propriété fnale connue est la température. Nous pourrons ainsi répondre à des questions de type « quelle puissance sous forme de chaleur faut-il pour porter le gaz à 1200°C ? ». En somme, le concept du gaz parfait nous permet d’ajouter la température aux propriétés que nous pouvons prévoir et manipuler dans l’élaboration de nos machines. 2 Ce cours : Le gaz parfait va nous apporter deux nouvelles possibilités : Nous retiendrons de prime abord la défnition suivante : Le gaz parfait est un modèle mathématique, permettant de prédire la température d’un gaz en fonction de sa pression. Le gaz parfait est une proposition de défnition de la température. On propose simplement de mesurer la température absolue T avec un manomètre, en stipulant qu’elle est directement proportionnelle à la pression p et inversement proportionnelle à la masse volumique ρ. Nous faisons ainsi abstraction des interactions complexes entre molécules d’un gaz, et nous défnissons la température (« degré d’agitation interne ») comme étant proportionnelle à la force moyenne d’impact des molécules sur les parois du récipient d’un gaz (la pression). Pour une pression donnée, l’agitation est d’autant plus grande que les molécules sont espacées (c’est à dire que la masse volumique est faible) : on obtient une relation de type T = k ρ p . On peut ainsi dire que le gaz parfait ne décrit pas la réalité des choses, que ce n’est pas un principe physique, mais bien simplement un modèle simplifé du comportement des gaz. Sa plage de validité est limitée et foue. Nous appellerons gaz parfait un fuide à l’état gazeux dont le multiple de la pression et du volume, pv , est proportionnel à sa température. La constante de proportionnalité est nommée constante du gaz, et notée R ; elle dépend de la nature du gaz. par défnition pour un gaz parfait, où p est la pression (Pa), v le volume spécifque (m3 kg−1), T la température (K), et R la constante du gaz considéré (JK−1 kg−1) 3 1 1.1 Le manomètre comme thermomètre 1.2 Défnition : l’équation d’état pv = RT (1) Définition en fonction de la masse : où V est le volume (m3), et m la masse considérée (kg). Parce qu’elle est étroitement liée à la défnition de la température (pour laquelle elle défnit un degré zéro), il a fallu 150 ans pour que cette équation prenne sa forme défnitive, telle qu’énoncée par Clapeyron en 1834. indique qu’une masse non-nulle de gaz parfait occupe un volume nul à température nulle. Strictement parlant, le gaz parfait ne peut exister – le modèle mathématique ci-haut perd son sens à très basse température puisqu’il ne tient pas compte du volume des molécules lui-même. Autre problème, celui de l’interaction des molécules. Sans nous plonger dans la physique des particules, nous pourrons dire que lorsqu’elles sont ralenties, les molécules s’attirent et se repoussent de façon diférente. Moins elles se percutent de façon rapide, et moins on peut décrire leur comportement comme celui de simples boules de billard rebondissant les unes contre les autres. Les conséquences et les conditions de ce phénomène fera l’objet du cours 5 (Liquides et vapeurs). Nous retiendrons donc que le modèle du gaz parfait fonctionne mieux : – Lorsque les molécules se percutent à grande vitesse, c’est à dire que la température du gaz est haute ; – Lorsque l’espace moyen entre les molécules est grand, c’est à dire lorsque le volume spécifque du gaz est grand. Ces conditions sont respectées pour l’air dans la grande majorité des applications en ingénie- rie. Nous utiliserons la valeur Rair = 287Jkg−1 K−1 pour l’air pur dans nos machines. 4 1.3 pV = mRT (2) Il ne faudra pas longtemps à l’étudiant/e pour trouver les limites de l’équation 2, qui L’équation 1 est nommée équation d’état des gaz parfaits. Elle peut également être exprimée Plusieurs autres équations d’état peuvent être utilisées, qui correspondent aux gaz réels sur une plus grande plage de propriétés. Ainsi, l’équation de Van der Waals, proposée dès la fn du XVIIIe siècle, est formulée selon : ( a v2) où a et b sont deux constantes. la force d’attraction entre les molécules (le terme a/v2, qui devient partie de l’expression de la pression) et le volume occupé par les molécules (le terme b qui se retranche au volume disponible). Malgré les difcultés inhérentes à la quantifcation des termes a et b, ces modifcations ont considérablement étendu la plage d’application des équations d’état. Elles ont valu à leur auteur, Johannes Van der Waals, le prix Nobel de physique en 1910. La recherche de modèles mathématiques pour décrire l’état des gaz réels est un thème majeur de recherche en thermodynamique. L’étudiant/e curieux/se pourra consulter les équations d’état de Beattie-Bridgeman, Benedict-Webb-Rubin ou encore Strobridge pour se faire un aperçu de la complexité croissante de cette branche. Nous resterons quant à nous à 5 1.4 p + (v −b) = RT (3) l’équation 1. Cette équation a l’intérêt de tenir compte de deux facteurs ignorés dans l’équation d’état 2 : Extension de l'équation d'état Nous avons déjà abordé la notion de chaleur massique, ou capacité calorifque, au premier cours (1/14). Elle se défnit comme la quantité de chaleur nécessaire pour augmenter d’un Kelvin 3la température d’un kilo du corps. On a ainsi : dQ dT où c est la chaleur massique spécifque (JK−1 kg−1), m est la masse considérée (kg) dQ la quantité infnitésimale de chaleur fournie (J) et dT la variation de température provoquée (K) Comme la température d’un gaz varie aussi lorsqu’il reçoit ou fournit du travail, il existe une infnité de façons de faire varier sa température d’un degré, en combinant chaleur et travail. Chacune nécessite une quantité de chaleur unique ; il y a donc une infnité de chaleurs massiques correspondantes. Pourtant, seules deux valeurs sufsent pour décrire l’ensemble de ces comportements pour un gaz parfait : la chaleur massique à volume constant, cv , et la chaleur massique à pression constante, cp . On peut mesurer ces valeurs au moyen des expériences décrites en fgure 4.1. Par défnition, pour un gaz parfait, ces deux capacités sont indépendantes de la température. Nous avons donc : dQ = mcp dT Q1→2 = mcp(T2 −T1) 1→2 p 2 1 pour une évolution réversible à pression constante, 3. Ou d’un degré Celsius, ces diférences de température étant égales. 6 2 Propriétés des gaz parfaits 2.1 Chaleurs massiques cm = (4) q = c (T −T ) (5) calorifque massique sera cv. À droite, la pression est constante et la capacité sera cp. dQ = mcv dT 1→2 v 2 1 pour une évolution à volume constant. Pour les gaz réels, cv et cp varient avec la température (fgure 4.2), mais pour la plupart des applications une valeur moyenne peut être utilisée sans grande imprécision. Nous retiendrons les valeurs cv(air) = 718Jkg−1 K−1 et cp(air) = 1005Jkg−1 K−1 pour l’air. 7 Figure 1 – Défnitions des chaleurs massiques. À gauche, le volume est fxé et la capacité q = c (T −T ) (6) variation sensible des valeurs dans la gamme de températures utilisée en ingénierie, que nous négligerons dans le cadre de notre étude de la thermodynamique. uploads/Finance/ thermo-cours-ch1-gaz-parfait.pdf