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Le Torseur ●Le torseur : un outil mathématique {T}= R M(o) o Il représente un c

Le Torseur ●Le torseur : un outil mathématique {T}= R M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Le torseur : adapté à la mécanique des solides. Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : ∗ Cinématique du solide → torseur distributeur des vitesses. ∗ Modélisation des actions mécaniques → torseur des actions mécaniques. ∗ Dynamique → torseur cinétique → torseur dynamique. Avantages de la notation torsorielle : ● elle unifie les notations et permet de définir simplement : le champ des vitesses d'un solide; une action mécanique; une énergie; une puissance ● elle permet d'énoncer de manière concise les principes et théorèmes de la mécanique des solides S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Définition soit E l’espace affine à 3 dimensions et E l’espace vectoriel associé. On appelle torseur que l’on note { T } , l’ensemble défini dans ces espaces: ∗ d’un vecteur  R appelé résultante du torseur { T }. ∗ D’un champ vectoriel défini en tous point P de E et noté  MP . Ce champ vectoriel appelé moment au point P du torseur { T } vérifie la relation suivante: ∀ = + ∧ ( , ): A B M M AB R A B     Relation de changement de point d’un champ de moment de torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Notations {T}= R Mo O Résultante du torseur {T} Moment en O du torseur {T} Point de réduction Vecteur ne dépendant pas du point Vecteur dépendant du point Ces deux vecteurs sont les éléments de réduction du torseur { T } au point O S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Notations { } ( ) T A X L Y M Z N avec R X i Y j Z k M L i M j N k B A =           = + + = + +            Si l'on désire travailler dans une base orthonormée directe B(i,j,k), on notera le torseur: Toujours préciser la base de projection S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Torseur distributeur des vitesses: ( ) { } ( ) ( ) V S R A R S R M V A S R A = = = ∈          Ω Vecteur vitesse de rotation Vecteur vitesse de A Vecteur ne dépendant pas du point Vecteur dépendant du point ( ) ( ) ( )     V B S R V A S R BA S R ∈ = ∈ + ∧Ω On a bien la propriété du champ des moments d'un torseur : S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Torseur des actions mécaniques: { } ( ) ( ) T S S A R R S S M M S S A A ( ) 1 2 1 2 1 2 → = = → = →         Résultante des actions mécaniques de S1 sur S2 Moment résultant des actions mécaniques de S1 sur S2 Vecteur ne dépendant pas du point Vecteur dépendant du point ( ) ( ) ( )     M S S M S S BA R S S B A 1 2 1 2 1 2 → = → + ∧ → On a la propriété du champ des moments d'un torseur : S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Propriétés changement de point de réduction Les représentants d’un même torseur en deux points de réduction différents    ∧ + =    R A B M M R B et M R A A B A        S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Propriétés : Equiprojectivité du champ des moments     M AB M AB A B ⋅ = ⋅ A B MA MB ||AB|| ||AB|| Projections des moments sur la droite (AB) Démo évidente Animation mécamédia S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Propriétés : invariant d'un torseur   R MA ⋅ Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur.   R MA ⋅ = A B Quelles que soient A et B Démo évidente S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Propriétés égalité de 2 torseurs : 2 torseurs sont égaux s’ils ont même éléments de réduction en un point A quelconque. { } { } T T R R M M A A = ⇔ = =    ' ' '     Egalité des moments au même point S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Propriétés somme de 2 torseurs: soient 2 torseurs exprimés au même point de réduction A: { } { } T A R M T A R M A A 1 1 1 2 2 2 =      =          ; La somme des 2 torseurs au point A est un torseur et l’on note: { } { } { } T T T A R R M M A A = + = + +      1 2 1 2 1 2     Somme des moments au même point S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Nouvelle écriture de la composition de mouvement : La composition des mouvements s'écrit : ) 0 / 1 ( ) 1 / 2 ( ) 0 / 2 ( ω ω ω    + = ) 0 / 1 , P ( V ) 1 / 2 , P ( V ) 0 / 2 , P ( V    + = Ce qui s'écrit en condensé : { } { } { } ) 0 / 1 ( V ) 1 / 2 ( V ) 0 / 2 ( V + = Formule de composition des torseurs cinématiques S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Axe centrale d'un torseur Définition : on appelle axe centrale (∆) d'un torseur, l'ensemble des points de réduction où résultante et moment sont colinéaires Traduisons cette propriété: Soient (A,B) deux points de ∆. On a alors     M aR et M bR A B = = or         M M BA R bR aR BA R B A = + ∧ ⇒ = + ∧ d’où ( ) a b R AB R − = ∧    ↑ ↑ Vecteurs: // à  R ; ⊥ à  R S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Axe centrale d'un torseur Comme   R ≠0; on a a=b, le moment est constant sur l’axe central, et AB R   / / donc l’axe central ∆ est la droite (A,  R ). √ les 2 membres de l’égalité sont nécessairement nuls. d’où ( ) a b R AB R − = ∧    ↑ ↑ Vecteurs: // à  R ; ⊥ à  R L’axe central est une droite passant par un point où résultante et moment sont colinéaires et de même direction que la résultante. Le moment est constant et minimum sur l’axe central. S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Résultantes et moments sur l' axe centrale (∆) A B R MB MA R (∆) Comment est le champ de moment autour de l'axe ? C S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Représentation du champ des moments d'un torseur S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Détermination de l'axe centrale On connait le torseur au point O OA R   ∧ Q O A  R     M M OA R O A = + ∧  R  M A Soit Q le plan ⊥ à  R et passant par O. Ce plan coupe nécessairement ∆ en un point que nous noterons A. S2I Lycée Corneille T.CHIRLE Le Torseur ●Détermination analytique de l'axe centrale On connait le torseur au point O OA R   ∧ Q O A  R     M M OA R O A = + ∧  R  M A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                      M R M M AO R M R OA R R R M R OA R M R AO R comme R AO R R R AO R uploads/Finance/ torseur-corneille.pdf