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Comportement des sommes au voisinage de 0 pour entier naturel non nul et certai

Comportement des sommes au voisinage de 0 pour entier naturel non nul et certaines valeurs de par B. Boulehjoul1 On suppose connues les propriétés classiques de la fonction Gamma ( ), en particulier la formule de Gauss et la formule des compléments. On commence par le cas en donnant une expression intégrale des sommes à la valeur : Lemme 1 Corollaire 1 : On développe ensuite les formules obtenues en séries entières de : Lemme 2 : Corollaire 2 : On étudie maintenant les séries entières et au voisinage de 1. Un changement Page 1 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... de variable dans les expressions de et va permettre de donner un équivalent simple de ces coefficients pour un infiniment grand, moyennant un résultat sur la transformation de Laplace : Lemme 3 Soit ; on suppose qu'il existe un réel tel que converge et que , avec et ; alors : Corollaire 3 : Grâce à un résultat classique sur les séries entières réelles, on obtient enfin quelques résultats bien mérités. Lemme 4 Soit une série entière réelle de rayon de convergence 1 ; si et si diverge, alors : . Application Corollaire 4 * pour * * pour Page 2 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... * * , : Exemples Moyennant ( ) et , on obtient : Avec l'aide des techniques précédentes et d'une expression intégrale de pour , on peut préciser la dernière formule du corollaire précédent pour , et obtenir un premier résultat pour . Lemme 5 Corollaire 5 * pour * * pour * Quelques formules de trigonométrie vont permettre de nouveaux résultats : Lemme 6 Page 3 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... Corollaire 6 (pour ) * pour * pour * pour * * pour Page 4 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... * * pour * * pour * Notes ... Boulehjoul1 Agrégé de mathématiques. Lycée Essalam, Maroc. z Démonstrations z Remarque z Bibliographie Démonstrations Lemme 1. Moyennant les hypothèses faites sur , la fonction est continue sur et l'on a ; ; ceci indique son intégrale sur absolument convergente ( . En appliquant pour et l'identité à , et en multipliant chaque membre de l'égalité par , on obtient : Page 5 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... Pour , un simple changement de variable fournit la convergence de et sa valeur ; ceci nous autorise à intégrer l'égalité ci-dessus entre 0 et (la dernière intégrale est donc convergente) : Les fonctions sont continues sur et la double inégalité : permet d'affirmer que la suite converge simplement sur vers la fonction nulle et satisfait à la condition de domination du théorème de convergence dominée ( est intégrable) ; par suite : et le lemme est démontré (convergence de la série incluse) en faisant tendre vers dans . Corollaire 1. Il suffit d'appliquer le lemme 1 à , puis d'identifier les parties réelle et imaginaire dans l'égalité obtenue : les séries et les intégrales convergent et l'on a bien les égalités annoncées. Page 6 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... On notera que la première égalité montre que a le signe de , ce qui n'était pas évident a priori. Lemme 2. Pour tout et , on a , et l'on peut développer en séries géométriques sous les intégrales : Les fonctions et sont continues sur ; les séries et convergent simplement sur respectivement vers et , et l'on a les inégalités suivantes : les fonctions majorantes étant intégrables sur (voir corollaire 1). Le théorème de convergence dominée s'applique une fois encore, et on en déduit les formules annoncées. Corollaire 2. Il est obtenu en combinant les résultats du corollaire 1 et du lemme 2 appliqué à . Lemme 3. On peut évidemment supposer , ce qui assure que avec les hypothèses, ainsi que . Page 7 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... Soit : . On déduit de ceci, pour : pour l'autre morceau : Exploitons maintenant la domination : et par suite : En combinant et , il en découle, pour : ce qui achève la démonstration. Corollaire 3. Pour entier naturel, le changement de variable dans les expressions de et fournit : Les fonctions et sont continues, positives, d'intégrales convergentes , et Page 8 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... ; le lemme 3 s'applique avec et fournit les résultats annoncés. Lemme 4. a pour rayon de convergence 1 ; on note : Les étant , la suite des sommes partielles de la série diverge vers ; pour donné, il existe donc un entier tel que l'on ait : . De , on déduit l'existence de tel que : Alors a fortiori : , et donc : . Soit . ; pour et ; il suit : On conclut en remarquant que le premier terme de la somme majorante tend vers 0 quand tend vers 1. On peut bien sûr se contenter de la condition à partir d'un certain rang. Soit ; la série diverge et le lemme s'applique ; la formule de Gauss (sans ) où É , valable pour et appliquée à fournit : Page 9 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... donc : (On peut retrouver ce dernier résultat sans la formule de Gauss, à l'aide de comparaisons du terme général de la série avec une intégrale.) Corollaire 4. Pour , le lemme 4 s'applique aux séries et (on convient de ) : Il suit, en vertu de l'application du mème lemme et de la formule ( ) : si : si : On obtient les deux premiers résultats en posant et en utilisant le corollaire 2 et les équivalents connus de et au voisinage de . De même, le lemme 4 s'applique pour aux séries et (on convient de ) : Page 10 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... Il suit : si : si : Avec et le corollaire 2, on déduit les deux réultats suivants (le second terme de est prépondérant par rapport au premier). Le dernier résultat (cas ) provient de la possibilité d'intervertir limite et somme grâce à la convergence normale de la série sur . Lemme 5. Soit ; on peut obtenir l'égalité annoncée en constatant la convergence uniforme de la série et de l'intégrale sur dans l'égalité du lemme 1, ou en procédant directement : Le changement de dans fournit, pour : Pour tout , est continue sur ; converge pour tout réel , de somme , et on a : Page 11 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... fonction intégrable sur ; le résultat est conséquence du théorème de convergence dominée. Corollaire 5. Avec le corollaire 1 et le lemme 5, on obtient, pour et : La méthode utilisée au lemme 2 fournit sans difficultés, pour et : Pour , on écrit ensuite à l'aide du changement de variable en vue d'utiliser le lemme 3 : Le lemme 3 s'applique (avec ; est continue, positive, d'intégrale convergente , et ) : Le lemme 4 s'applique ensuite lorsque diverge, i.e. pour ; en conséquence : soit donc (en détaillant avec l'application du lemme 4) : Page 12 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... On déduit alors aisément les deux premiers résultats. Pour et , on peut ensuite écrire, grâce à l'identité : , et les deux résultats suivants en découlent. Lemme 6. Les formules sont laissées au soin du lecteur. Corollaire 6. Pour , et réel, les formules suivantes sont conséquences du lemme 6 : * * * ( ) * ( ) Combinées avec les corollaires 4 et 5, elles fournissent : * : avec et . Page 13 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... * ( ) : avec et . * : avec et . * ( ) : avec et . * : avec et . * ( ) : avec et . * : avec et . Page 14 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... * ( ) : avec et . Les formules du lemme 6 fournissent ensuite les identités suivantes, qui permettrons d'obtenir dans l'ordre les huit premiers résultats du corollaire 6 : Le résultat et l'identité ci-dessus permettent d'écrire : * : La neuvième formule ( ) est alors conséquence de et , et on obtient finalement la dixième et dernière formule ( ) avec et l'identité : Remarque Moyennant le corollaire 6, on peut poursuivre l'étude des comportements de et en pour . Par exemple, pour , donne : et, en intégrant sur (convergence uniforme sur ), on obtient : Page 15 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... En intégrant une nouvelle fois cette formule écrite pour , on trouvera : Par des intégrations successives, on peut ainsi donner des développements asymptotiques au voisinage de de et pour , . Bibliographie Xavier Gourdon, Les Maths en tête, Analyse. Page 16 sur 16 Imprimer 31/10/2004 http://www.rms-math.com/print.php?id_article=484&Type=enonce&Num=0&Mode=... uploads/Geographie/ 112-2-6-pdf.pdf