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ÉLÉMENTS DE GEOSTATISTIQUE COURS DONNÉ AUX ÉTUDIANTS DE LA TROISIÈME ANNÉE DE L

ÉLÉMENTS DE GEOSTATISTIQUE COURS DONNÉ AUX ÉTUDIANTS DE LA TROISIÈME ANNÉE DE LA LICENCE APPLIQUÉE EN GÉOMATIQUE TERRE ET ENVIRONNEMENT DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TUNIS Par Abdelmajid BEN HADJ SALEM Ingénieur Général à l’Oﬃce de la Topographie et du Cadastre version 3.3 Septembre 2012 Office de la Topographie et du Cadastre abenhadjsalem@gmail.com 2 Table des matières 1 Introduction 7 1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Les Trois âges de la géostatistique . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 La Première étape :1950-1960 . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 La Deuxième étape :1970-1980 . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 1990 - 20.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Objectif de la Géostatistique . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Rappels Statistiques 11 2.1 Variable Aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Description d’une variable aléatoire . . . . . . . . . 11 2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 L’interprétation propre à la géostatistique . . . . . . . . . 14 3 Le Variogramme 17 3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.1 Hypothèses de base et déﬁnition . . . . . . . . . . 19 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3.2 Estimation du variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Exemple numérique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Types de modèles courants . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Le Krigeage 27 4.1 Le Krigeage Ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Le Krigeage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Exemple numérique de krigeage . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Le Cokrigeage 37 5.1 Le Cokrigeage ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.1.1 Le Cokrigeage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bibliographie 42 Liste des Figures 43 Liste des Tables 46 Préface Ce cours d’éléments de géostatistique donné aux étudiants de la troi- sième année de la Licence Appliquée en Géomatique Terre et en- vironnement de la Faculté des Sciences de Tunis a été inspiré surtout du cours intitulé Aide-Mémoire de Géostatistique Linéaire 1 de Pierre Chauvet. Qu’il trouve toutes nos sincères compléments. Tunis, Abdelmajid Septembre 2012 Ben Hadj Salem, Dipl.-Ing. Ingénieur Général Géographe 1. http ://cg.ensmp.fr/Chauvet/Tome2/ParisTech/AideMemoire.pdf 5 6 TABLE DES MATIÈRES Chapitre1 Introduction 1.1 Déﬁnitions Le mot de Géostatistique a fait son apparition en 1962. On peut déﬁ- nir la Géostatistique comme l’étude des variables numériques réparties dans l’espace ou encore la méthode de traitement statistique de données localisées. Il est clair alors que des problèmes essentiellement géostatis- tiques ont été abordés depuis fort longtemps : en art des mines certes, mais aussi en météorologie, topographie, cartographie, pour ne citer que quelques exemples. L’innovation ne réside pas non plus dans l’arsenal mathématique re- quis. Ainsi les Fonctions Aléatoires ont-elles été introduites et étudiée s dès les années 1930 par les écoles française et soviétique (P. Lévy, A. Kolmogorov, A. Khintchine) ; les outils théoriques que nous utilisons en Géostatistique Linéaire étaient en place dès les années 1940 (H. Cramér, N. Wiener, S. Bochner) ; et les méthodes comme les moindres carrés de Gauss ou les paramètres de Lagrange, sont des plus classiques et font partie du bagage mathématique de base de l’ingénieur. Le déclic, si l’on peut dire, qui a conduit à l’élaboration de ce que nous appelons ici et aujourd’hui la Géostatistique, c’est le rapprochement de ces deux domaines : des problèmes techniques parfois fort terre-à-terre 7 8 1. Introduction d’une part, et d’autre part un arsenal de méthodes mathématiques. Sans doute d’ailleurs, dans l’espace d’une décennie, la Géostatistique s’est éla- borée indépendamment dans le domaine minier, dans le domaine fores- tier (B. Matérn, en Suède), en météorologie (L.S. Gandin, en URSS). Sans doute une recherche bibliographique approfondie trouverait-elle une évolution semblable dans d’autres disciplines encore. 1.2 Les Trois âges de la géostatistique Pour ﬁxer les idées, nous examinerons ici les grandes lignes de l’évolution de la Géostatistique. 1.2.1 La Première étape :1950-1960 La première étape est d’inspiration exclusivement minière. Pour être plus précis, ce sont les problèmes rencontrés par les mineurs d’or d’Afrique du Sud qui suscitent les premières recherches. L’idée directrice de ces recherches est de pallier les insuﬃsances de la statistique «classique» constatées dans l’étude des gisements. Le néologisme «krigeage» est là pour rappeler cette rencontre entre une technique mathématique de ré- gression et les diﬃcultés d’exploitation du minerai d’or. Mais déjà, les applications s’étendent à d’autres produits : uranium, fer, nickel, cuivre. Deux traits caractérisent cette première période de la Géostatistique. Au niveau pratique d’abord, les moyens de calculs demeurent rudimen- taires, aussi les publications abondent-elles en formules d’approximation, courbes ou abaques, qui progressivement constituent un véritable capital aﬁn d’éviter aux utilisateurs de reprendre des calculs fastidieux. Au ni- veau théorique ensuite, on remarque que les formalismes qui s’élaborent se placent souvent dans le cadre d’une loi de distribution donnée. Il s’agit non pas tant du modèle Gaussien - inadapté aux variables disséminées - que du modèle log-norma(logarithme de la loi normale), pour lequel se manifeste un engouement extraordinaire dans les années 1950. D’autres modèles de distributions font l’objet de recherches théoriques (travaux de H.S. Sichel). 1.3. Objectif de la Géostatistique 9 1.2.2 La Deuxième étape :1970-1980 Avec la deuxième période de la Géostatistique, que l’on peut situer de 1965 à la ﬁn des années 1970, c’est la référence à des modèles sta- tistiques qui est abandonnée. Ou bien on élabore des modèles qui ne font pas intervenir les lois de distribution (Géostatistique Linéaire), ou bien on se ramène préalablement à des modèles de référence par le jeu des anamorphoses. Parallèlement, on cherche à élargir les hy- pothèses de travail : c’est le développement d’une Géostatistique Non Stationnaire, puis d’une Géostatistique Non Linéaire. La Géostatistique Non Stationnaire-Non Linéaire reste encore à faire. Des formalismes nouveaux apparaissent : Simulations conditionnelles ou non, Ensembles Aléatoires. Dans ce dernier domaine, il s’agit cette fois d’innovations théoriques. Ce foisonnement méthodologique peut être immédiatement mis en valeur grâce à la remarquable amélioration des moyens de calculs. 1.2.3 1990 - 20.. Il n’est pas facile de parler de la Géostatistique de troisième génération, actuellement en pleine expansion. Dans un contexte informatique de plus en plus confortable, la Géostatistique se développe dans les directions les plus variées. Les champs d’application ne se limitent plus désormais aux ressources naturelles comme les mines ou le pétrole. Plus fondamentale- ment, les recherches s’orientent vers des domaines théoriques extreme- ment divers. Il est aussi intéressant de noter que l’on se remet à prendre en compte les lois de distribution. Cependant, il ne s’agit pas là d’un quelconque retour en arrière : ce sont au contraire des outils nouveaux dont le besoin se fait sentir et qui sont élaborés actuellement. On peut donc penser que cette troisième phase de la Géostatique est une étape de synthèse, dont il est encore trop tôt pour prévoir les aboutissants. 1.3 Objectif de la Géostatistique L’objectif est de disposer d’une carte représentative des phénomènes qui soit : - claire, 10 1. Introduction - facile à comprendre, - et ﬁable. Parmi ces phénomènes, on peut citer : - contamination d’un site, - évaluation de volumes de sols à traiter, - communication autour d’une pollution de nappe, - pollution atmosphérique.. Le coeur du problème de la géostatistique est : comment à partir d’un nombre limité de mesures avoir une représentation ﬁdèle d’un phé- nomène localisé dans l’espace. Chapitre2 Rappels Statistiques 2.1 Variable Aléatoire Déﬁnition 2.1.1. Variable aléatoire (v.a) : c’est une fonction dont les résultats possibles sont connus mais dont le résultat ﬁnal ne peut uploads/Geographie/ 1802-0150v1-pdf.pdf