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Première partie Chapitre I. 1- Statistiques descriptive à une dimension 1.1. In

Première partie Chapitre I. 1- Statistiques descriptive à une dimension 1.1. Introduction: Recueillir et analyser les données sont les deux objectifs fondamentaux de la statistique. Pour y parvenir, il faut suivre les étapes suivantes : La collecte des données : définir l’objet étudié, les variables statistiques mises en cause, le questionnaire et construire l’échantillon représentatif (sondage recensement, plan d’expériences….). Une fois les données collectées et corrigées, les visualiser sous forme de tableaux et (ou) de graphiques et les résumer grâce à des paramètres qui permettent de dégager les caractéristiques essentielles du phénomène étudié (statistique descriptive, analyse des données). L’étape de la modélisation (statistique mathématique) est de fournir des résultats relatifs à une population à partir de mesures statistiques réalisées sur des échantillons. La statistique mathématique fournit des éléments permettant de spécifier du mieux possible le modèle probabiliste qui a engendré les données. Les méthodes statistiques sont utilisées dans de nombreux domaines tels que l’ingénierie (contrôle de qualité de fabrication), la médecine (expérimentation de nouveaux médicaments ….), les sciences sociales et économiques (l’économétrie, la démographie….) et bien dans d’autres domaines. La statistique est une branche des mathématiques appliquées, qui consiste à réunir des données chiffrées sur des ensembles nombreux, à analyser et à critiquer ces données. Elle désigne l’ensemble des techniques d’interprétation mathématique appliquée à des phénomènes pour lesquels une étude exhaustive de tous les facteurs est impossible. Elle fournit de la manière la plus rigoureuse possible des éléments d’appréciation utiles à l’explication ou à la prévision de ces phénomènes. Par contre Le mot ″ statistiques ″ au pluriel, désigne l’ensemble des données chiffrées qui regroupent toutes les observations faites sur des faits relatifs à un même phénomène qui concerne un groupe d’individus ou d’objets. Ces données sont essentiellement extraites des recensements de la population, des déclarations du registre d’état civil ou d’enquêtes appropriées et sont groupées sous forme de tableaux, de graphiques et d’indicateurs statistiques. La statistique, en tant que méthode d’analyse des données quantitatives et qualitatives, comporte deux phases:  La statistique descriptive, qui consiste en la collecte et la présentation de données, ainsi que leur première analyse. Le but est de représenter d’une manière compréhensible et utilisable l’information fournie par les données.  La statistique mathématique, qui cherche à trouver les caractéristiques de la population mère à partir des observations faites sur un échantillon. Elle prend la suite de la statistique descriptive et fait appel au calcul des probabilités. 1.2. Concepts de base des statistiques 1.2.1. Population statistique : C’est l’ensemble de référence constitué des unités observées, cela ne signifie pas exclusivement un ensemble de personnes physiques, mais peut concerner des personnes morales ou des objets (entreprises, exploitation agricoles, ampoules, voitures….). Une population doit être bien définie. 1.2.2. Caractères et modalités : Le caractère désigne une grandeur ou un attribut observable sur un individu, c’est donc un aspect particulier de l’élément que l’on désire étudier qui est susceptible de varier en prenant différents états appelés modalités. On distingue deux types de caractères : caractères qualitatifs et caractères quantitatifs. 1.2.2.1. Caractère qualitatif : Un caractère est dit qualitatif lorsqu’il est lié à une observation qui n’est pas mesurable. Les modalités du caractère qualitatif rangent les unités de la population étudiée en catégories. Tout individu appartient, sans ambiguïté à une seule catégorie. Exemple : Lors de l’étude de la population estudiantine, on s’intéresse à quelques caractéristiques telles que : La mention du baccalauréat, le milieu de résidence, le sexe, l’état matrimonial, la couleur des yeux etc……. Les modalités d’un caractère qualitatif sont simplement les différentes rubriques d’une nomenclature définie à priori et associées à ce caractère. La nomenclature désigne la liste des modalités d’un caractère précédées d’un numéro. Tableau statistique associé à un caractère qualitatif. ….. …… ……. : Effectif total (nombre total d’éléments observés) : Effectif d’une modalité, appelé aussi fréquence absolue (c’est le nombre de fois ou la modalité numéro a été observée). Fréquence relative d’une modalité est égale au rapport de l’effectif partiel à l’effectif total . et ∑ = 1 Remarque : les fréquences relatives peuvent être exprimées en pourcentage. 1.2.2.2. Caractère quantitatif : Lorsque les observations relatives à un caractère sont mesurables, le caractère est dit quantitatif (taille, poids, nombre d’enfants par familles, surface d’un logement…….). A chaque modalité correspond un nombre différent. On distingue deux types de caractères quantitatifs :  Caractère quantitatif discret : Auquel, les valeurs possibles de la variable sont des nombres isolés, généralement des nombres entiers tels que (nombre d’enfants par famille, nombres d’années d’études, nombres de pièces par logement, … etc. Tableau statistique associé à un caractère quantitatif discret. (croissantes) (croissantes) ………….. ………….. ………….. ………….. ………….. ∑ Total ………….. ………….. : Fréquences cumulées croissantes : Le cumule des fréquences associées aux valeurs du caractère inférieures strictement à la valeur .  Caractère quantitatif continu : Auquel les valeurs possibles de la variable sont à priori en nombre infini dans un intervalle de valeurs telle que (l’âge, la taille, la moyenne des notes aux examens, etc.….). Tableau statistique associé à un caractère quantitatif continu. Classes [ ; bi [ ni fi Fi [b0 ; b1 [ [b1 ; b2 [ = [b2 ; b3 [ = … … … … … [bp-1 ; bp [ 1 N 1 Remarque : - Par convention, les classes sont fermées à gauche et ouvertes à droites. - Le centre d’une classe est : - L’amplitude d’une classe est : 1.3. Représentations graphiques. D’une manière générale, il est plus commode d’observer un graphique que de lire un tableau. La synthèse visuelle fournie autant d’information qu’un alignement de chiffres. C’est pour cette raison, qu’en statistique descriptive, il est recommandé d’utiliser les représentations graphiques. 1.3.1. Caractère qualitatif. Pour un caractère qualitatif il existe un nombre important de représentations qui aboutissent au même résultat ; mais les plus répandus et utilisés sont les représentations en tuyaux d’orgues et les diagrammes secteurs angulaires. a- Représentation en tuyaux d’orgues. Le diagramme en tuyaux d’orgues est représenté dans un repère formé d’un axe vertical gradué et d’un axe horizontal non gradué. A chaque modalité correspond un rectangle, parallèle à l’axe des ordonnées, dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence ou à l’effectif associée à cette modalité. Les rectangles ont des largeurs égales et sont espacés les uns des autres par des distances égales, et en abscisse sont portées, les modalités de la variable de façon arbitraire. Remarque : - Etant donné que les modalités sont qualitatives il n ya pas d’ordre entre elles. - Ce type de graphique permet de comparer les résultats obtenus sur différentes populations. b- Représentations par secteurs angulaires. (Diagramme circulaire). Les modalités sont représentées par un secteur angulaire d’un disque ou d’un demi-disque dont l’angle au centre est proportionnel à l’effectif ou à la fréquence, l’angle de chaque secteur, pour un disque plein, est donné par la formule : i° i Le diagramme circulaire ou semi circulaire, consiste à partager un disque ou un demi disque, en tranches ou secteurs, correspondants aux modalités observées et dont la surface est proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences de chaque modalité. Exemple: On étudie la répartition de 1000 étudiants pratiquant une discipline sportive à l’université. Les résultats sont distribués comme suit : Variable Cyclisme (1) Football (2) Tennis (3) Basketball (4) Autres (5) Total Effectif i 225 410 125 190 50 1000 Fréquence i 0,225 0,410 0,125 0,190 0,05 1,000 Angle i° 81° 148° 45° 68° 18° 360° Représentation graphique la série statistique. 1- Représentation en tuyaux d’orgues. 2- Représentations par un diagramme circulaire. 1.3.2. Cas d’un caractère quantitatif. 1.3.2.1. Caractère quantitatif discret. Les représentations les plus utilisées sont: a- Diagramme en bâtons. Il s’agit de la figure obtenu sur un repère cartésien en associant à chaque point de coordonnées ( un segment vertical appelé bâton, parallèle à l’axe des ordonnées dont la longueur est proportionnelle à la fréquence ou à l’effectif . Cette représentation permet de donner une idée générale sur la forme de la distribution et permet aussi de repérer les valeurs aberrantes. b- Polygone des fréquences ou des effectifs. Il s’agit de la ligne brisée joignant les sommets des bâtons du diagramme précédent. c- Fonction de répartition : La fonction de répartition F(X), est la fonction qui à chaque valeur x de R associe la proportion d’individus pour lesquels la valeur de la variable X est inférieure ou égale à x. Notation :F(x) = P(X x) Remarque : - Si alors - Si alors Conclusion : pour tout tel que La représentation graphique de F(x) est appelée courbe cumulative, c’est une courbe ″en escalier″ dont les paliers sont horizontaux, puisque F(x) est constante sur chaque intervalle [ . si et si et Remarque : On obtient la courbe cumulative des effectifs cumulés en remplaçant les fréquences cumulées par les effectifs cumulés Exemple: Une enquête portant sur le nombre d’enfants à charge a été réalisée auprès des habitants d’une citée. Cette enquête a donné les résultats suivants : Nombre d’enfants Nombre de familles 1 20 2 40 3 40 4 60 5 40 1- Représenter graphiquement uploads/Geographie/ cours-1-statistique-s-descriptive.pdf