Planche no 35. Systèmes d’équations linéaires : corrigé Exercice no 1 m, a, b,

Planche no 35. Systèmes d’équations linéaires : corrigé Exercice no 1 m, a, b, . . . sont des paramètres réels. On note (S) le système proposé et S l’ensemble des solutions de (S). 1) det(S) = 2(m(m−5)−6)+(3(m−5)−3)+7(6−m) = 2m2 −14m+12 = 2(m−1)(m−6). Le système est de Cramer si et seulement si m ∈{1, 6}. • Si m / ∈{1, 6}, les formules de Cramer fournissent alors : x = 1 2(m −1)(m −6) 4 3 1 5 m 2 7 3 m −5 = 4(m2 −5m −6) −5(3m −18) −7(m −6) 2(m −1)(m −6) = 2(m −6)(2m −9) 2(m −1)(m −6) = 2m −9 m −1 y = 1 2(m −1)(m −6) 2 4 1 −1 5 2 7 7 m −5 = 2(5m −39)) + (4m −27) + 21 2(m −1)(m −6) = 14(m −6) 2(m −1)(m −6) = 7 m −1 z = 1 2(m −1)(m −6) 2 3 4 −1 m 5 7 3 7 = 2(7m −15) + 9 + 7(−4m + 15) 2(m −1)(m −6) = −14(m −6) 2(m −1)(m −6) = − 7 m −1 Si m / ∈{1, 6}, S = 2m −9 m −1 , 7 m −1, − 7 m −1  . • Si m ∈{1, 6}, det(S) = 0. Un déterminant principal est 2 1 −1 2 = 5 ̸= 0. On peut choisir les deux premières équations comme équations principales et x et z comme inconnues principales. Le système des deux premières équations s’écrit 2x + z = 4 −3y −x + 2z = 5 −my et équivaut à      x = 3 + (m −6)y 5 z = 14 −(2m + 3)y 5 . La dernière équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité (les termes en y disparaissent si m ∈{1, 6}). 7x + 3y + (m −5)z = 7 ⇔73 + (m −6)y 5 + 3y + (m −5)14 −(2m + 3)y 5 = 7 ⇔21 + 14(m −5) −35 = 0 ⇔14(m −6) = 0 ⇔m = 6. Si m = 1, le système n’a pas de solution et si m = 6, l’ensemble des solutions est S = 3 5, y, −y 5  , y ∈R . 2) det(S) = 2(−8m −4 + 2) −(4m + 1) + 5(2m + 2m + 1) = 0. Le système n’est jamais de Cramer. Un déterminant principal est 2 1 1 2 = 3 ̸= 0. On peut choisir les deux premières équations comme équations principales et x et z comme inconnues principales. Le système des deux premières équations équivaut à      x = 6m −4 −(4m + 1)y 3 z = −3m + 8 + (5m + 2)y 3 . La dernière équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité. 5x −y + 4z = 3m −2 ⇔56m −4 −(4m + 1)y 3 −y + 4−3m + 8 + (5m + 2)y 3 = 3m −2 ⇔5(6m −4) + 4(−3m + 8) −3(3m −2) = 0 ⇔9(m + 2) = 0 ⇔m = −2. Si m ̸= −2, le système n’a pas de solution. Si m = −2, l’ensemble des solutions est S = −16 + 7y 3 , y, 14 −8y 3  , y ∈R . 3) 1 1 1 1 m 1 m −1 −m = −2m2 + 2m = −2m(m −1). Le système est de Cramer en x, y et z si et seulement si m / ∈{0, 1}. • Si m / ∈{0, 1}, les formules de Cramer fournissent : http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. x = 1 −2m(m −1) 3 −t 1 1 m + 2 + mt m 1 −1 + t −1 −m = (2m2 −2m)t + (−2m2 + 2m) −2m(m −1) = −t + 1 y = 1 −2m(m −1) 1 3 −t 1 1 m + 2 + mt 1 m −1 + t −m = (−2m2 −2m)t + (−2m2 + 2m) −2m(m −1) = m + 1 m −1t + 1 z = 1 −2m(m −1) 1 1 3 −t 1 m m + 2 + mt m −1 −1 + t = (2m2 + 2m)t + (−2m2 + 2m) −2m(m −1) = −m + 1 m −1t + 1. Dans ce cas, l’ensemble des solutions est S =  −t + 1, m + 1 m −1t + 1, −m + 1 m −1t + 1, t  , t ∈R . • Si m = 0, le système s’écrit    x + y + z + t = 3 x + z = 2 y + t = −1 ⇔    z = 2 −x t = −1 −y 1 = 3 . Dans ce cas, le système n’a pas de solution. • Si m = 1, le système s’écrit    x + y + z + t = 3 x + y + z −t = 3 x −y −z −t = −1 ⇔    t = 0 x + y + z = 3 x −y −z = −1 ⇔    t = 0 x = 1 z = 2 −y . Dans ce cas, l’ensemble de solutions est {(1, y, 2 −y, 0), y ∈R}. 4) det(S) = 1 2 3 m 2 1 m 3 3 m 1 2 m 3 2 1 = m + 6 2 3 m m + 6 1 m 3 m + 6 m 1 2 m + 6 3 2 1 (C1 ←C1 + C2 + C3 + C4) = (m + 6) 1 2 3 m 1 1 m 3 1 m 1 2 1 3 2 1 = (m + 6) 1 2 3 m 0 −1 m −3 3 −m 0 m −2 −2 2 −m 0 1 −1 1 −m (∀i ∈J2, 4K, Li ←Li −L1) = (m + 6) −1 m −3 3 −m m −2 −2 2 −m 1 −1 1 −m = (m + 6) −1 m −3 0 m −2 −2 −m 1 −1 −m (C3 ←C3 + C2) = −m(m + 6) −1 m −3 0 m −2 −2 1 1 −1 1 = −m(m + 6) −1 m −3 0 m −3 −1 0 1 −1 1 (L2 ←L2 −L3) = −m(m + 6) −1 m −3 m −3 −1 = m(m −2)(m −4)(m + 6). Le système est de Cramer si et seulement si m / ∈{0, 2, 4, −6}. Dans ce cas : m(m −2)(m −4)(m + 6)x = m −1 2 3 m 1 1 m 3 0 m 1 2 0 3 2 1 = 0 2 −(m −1) 3 −m(m −1) m −3(m −1) 1 1 m 3 0 m 1 2 0 3 2 1 = − 3 −m −m2 + m + 3 −2m + 3 m 1 2 3 2 1 = − 5m −6 −m2 + 5m −3 −2m + 3 m −6 −3 2 0 0 1 = −[−3(5m −6) −(m −6)(−m2 + 5m −3)] = −m3 + 11m2 −18m = −m(m −2)(m −9). et x = − m −9 (m −4)(m + 6). http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. m(m −2)(m −4)(m + 6)y = 1 m −1 3 m 2 1 m 3 3 0 1 2 m 0 2 1 = −2m + 3 0 −m2 + m + 3 −2m + 3 2 1 m 3 3 0 1 2 m 0 2 1 = −2m + 3 −m2 + m + 3 −2m + 3 3 1 2 m 2 1 = 3m2 −5m −6 −m2 + m + 3 2m2 −4m −3 0 1 0 m −6 2 −3 = −3(3m2 −5m −6) −(m −6)(2m2 −4m −3) = −2m3 + 7m2 −6m = −m(2m −3)(m −2) et y = − 2m −3 (m −4)(m −6). m(m −2)(m −4)(m + 6)z = 1 2 m −1 m 2 1 1 3 3 m 0 2 m 3 0 1 = −2m + 3 −m + 3 0 −2m + 3 2 1 1 3 3 m 0 2 m 3 0 1 = − −2m + 3 −m + 3 −2m + 3 3 m 2 m 3 1 = −(−2m + 3)(m −6) + 3(5m −6) −m(2m2 −5m + 6) = −2m3 + 7m2 −6m = −m(2m −3)(m −2), et z = − 2m −3 (m −4)(m −6). m(m −2)(m −4)(m + 6)t = 1 2 3 m −1 2 1 m 1 3 m 1 0 m 3 2 0 = −2m + 3 −m + 3 −m2 + m + 3 0 2 1 m 1 3 m 1 0 m 3 2 0 = −2m + 3 −m + 3 −m2 + m + 3 3 m 1 m 3 2 = (−2m + 3)(2m −3) −3(3m2 −5m −3) + m(m3 −m2 −4m + 3) = m4 −m3 −17m2 uploads/Geographie/ 35-systemes-corrige.pdf

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Administrationsystème solutions cramer l’ensemble déterminant
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