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Exposé sur la méthode de cramer Introduction Les mathématiques (ou la mathémati

Exposé sur la méthode de cramer Introduction Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Elles possèdent plusieurs branches telles que : l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie, la logique mathématique, etc. Il existe également une certaine séparation entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l'observation et l'expérience ne s'y portent pas sur des objets physiques. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté comme plausible, mais qui n'a pas encore été établi comme vrai (« démontré », en langage utilisé par les mathématiciens), s'appelle une conjecture. Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature » Certains systèmes d'équations peuvent être résolus directement lorsqu’ils appartiennent à une catégorie particulière : les systèmes de Cramer. Nous utilisons ici la notation en matrices. Biographie sur Gabriel Cramer Gabriel Cramer, né le 31 juillet 1704 à Genève et mort le 4 janvier 1752 à Bagnols- sur-Cèze, est un mathématicien genevois , professeur de mathématiques et de philosophie à l'académie de Genève. Lui et son collègue Jean-Louis Calandrini sont souvent considérés comme les artisans du renouveau scientifique à Genève au début du 18e siècle, par l'introduction de la philosophie naturelle newtonienne. Les contributions de Cramer aux mathématiques portent essentiellement sur l'algèbre et la géométrie, au travers de son unique ouvrage publié, un traité sur les courbes intitulé Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, paru à Genève en 1750. Dans ce traité on trouve notamment la méthode connue aujourd'hui sous le nom de règle de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires d'équations, utilisant ce qui sera ultérieurement appelé déterminants. La méthode de cramer La règle de Cramer (ou méthode de Cramer) est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système de Cramer, c'est-à-dire un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul, sous forme de quotients de déterminants. En calcul, la méthode est moins efficace que la méthode de résolution de Gauss pour des grands systèmes (à partir de quatre équations) dont les coefficients dans le premier membre sont explicitement donnés. Cependant, elle est d'importance théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système, et elle s'applique dans des systèmes où par exemple les coefficients du premier membre dépendent de paramètres, ce qui peut rendre la méthode de Gauss inapplicable. Elle est nommée d'après le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752). Quelques définitions qui ont une relation avec la méthode Systèmes d’équations linéaires : est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b étant un vecteur donné de F. On recherche l'inconnue x dans E. Une équation à coefficients réels ou complexes est dite linéaire quand elle peut être présentée sous la forme ax = b ou, de manière équivalente ax – b = 0, les matrices : sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss. Quelques exemples sur la méthode par calcul Système d’ordre 3 La même chose pour tout les matrices carrées Application du programme de la méthode de cramer sur matlab A=[1 1 1 ;2 -1 3;-1 -2 -1 ] B=[3 ; 4 ;-4 ] t=det (A) for j=1:3 c=A(:,j) A(:,j)=B x(j)=det(A)/t A(:,j)= c end x' Explication du programme Règle de Cramer Pour résoudre le système d'équations linéaires AX = B avec : 1 2 3 x1 4 A = 2 3 4 ; X = x2 ; B = 5 4 2 5 x3 1 Il faut calculer d'abord les matrices D1, D2, D3 avec Di = A ayant la colonne (i) remplacée par B >> D1 = A ; D1( : , 1) = B >> D2 = A ; D2( : , 2) = B >> D3 = A ; D3( : , 3) = B Ensuite, il faut calculer les déterminants des matrices A, D1, D2 et D3: >> det(A) >> det(D1) >> det(D2) >> det(D3) La solution par règle de Cramer donne X(i) = det(Di)/det(A) >> X = [ det(D1) ; det(D2) ; det(D3) ] / det(A) Pour vérifier la solution, on devrait retrouver B en faisant : >> A*X La même chose pour tout les matrices carrées Le but du tp Nous serons souvent amenés a résoudre un système d’´equations linéaires. Nous allons introduire une méthode systématique de résolution, la méthode du Pivot de Gauss, que nous allons d’écrire `a l’aide de matrices échelonnées. Nous verrons aussi comment appliquer cette méthode pour calculer l’inverse d’une matrice carrée Conclusion L’objet de cette partie du cours est de vous donner des outils mathématiques qui vous seront nécessaires dans les années `a venir. Les objets que nous manipulerons principalement s’appellent des matrices, et servent `a coder certains problèmes, tels que par exemple certains systèmes d’´equations, ou certains systemes d’équations différentielles. Nous reviendrons sur ces questions plus loin dans le cours, mais pour l’instant il nous faut définir et manipuler les objets dont nous aurons besoin Références - Quelques information de la part de madame yefrah - Wikipedia - D’autres sites d’internet uploads/Geographie/ expose-sur-la-methode-de-cramer 1 .pdf