Planche no 37. Dénombrements : corrigé Exercice no 1 1) Le nombre de mains est

Planche no 37. Dénombrements : corrigé Exercice no 1 1) Le nombre de mains est le nombre de parties à 5 éléments d’un ensemble à 32 éléments. Il y en a 32 5  = 32 × 31 × 30 × 29 × 28 5 × 4 × 3 × 2 = 8 × 31 × 29 × 28 = 201 376. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 201 376 mains de cinq cartes. 2) Il y a quatre couleurs (carreau, cœur, pique trèfle) et quatre hauteurs (à l’as, au roi, à la dame et au valet). Au total, il y a 4 × 4 = 16 quintes floches. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 16 quintes floches (dont quatre royales). La probabilité d’avoir une quinte floche est donc 16 201 376 = 1 12 586 = 0, 000079 . . . 3) Chaque carré d’as peut être accompagné d’une carte choisie parmi les 28 qui ne sont pas des as. Il y a donc 28 carrés d’as. Comme il y a 8 hauteurs possibles, il y a 28 × 8 = 224 mains contenant un carré. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 224 mains contenant un carré. La probabilité d’avoir un carré est donc 224 201 376 = 1 899 = 0, 0011 . . . 4) Il y a 4 couleurs (carreau, cœur, pique ou trèfle). Le nombre de mains contenant 5 carreaux est le nombre de parties à 5 éléments d’un ensemble à 8 éléments. Il y en a 8 5  = 8 3  = 8 × 7 × 6 3 × 2 = 8 × 7 = 56, et donc au total, 4 × 56 = 224 mains contenant 5 cartes de couleurs identiques. On doit enlever à ces mains les quintes floches au nombre de 16 (qui sont à ranger dans la catégorie des quintes floches et pas la catégorie des couleurs). Il reste 224 −16 = 208 couleurs. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 208 couleurs. La probabilité d’avoir une couleur est donc 208 201 376 = 13 12 586 = 0, 00103 . . . 5) Comptons le nombre de mains contenant un full aux as par les rois (brelan d’as et paire de roi). Il y a 4 brelans d’as et 4 2  = 6 paires de rois. Il y a donc 4 × 6 = 24 mains contenant un full aux as par les rois. Maintenant, il y a 8 hauteurs possibles pour le full et pour chacune de ces hauteurs, il y a 7 hauteurs pour la paire soit au total 8 × 7 = 56 hauteurs pour le full. Il y a donc 24 × 56 = 1344 mains contenant un full. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 1 344 mains contenant un full. La probabilité d’avoir un full est donc 1 344 201 376 = 6 899 = 0, 0066 . . . 6) Comptons le nombre de suites à l’as. Il y a 4 as, 4 rois, 4 dames, 4 valets et 4 dix et donc 45 mains contenant la séquence As, roi, dame, valet, dix. Une suite peut commencer à l’as, au roi, à la dame ou au valet et donc il y a 4×45 = 46 mains contenant 5 cartes qui se suivent. On doit retirer de ces mains celles qui fournissent une quinte floche et il reste 46 −16 = 4080 mains contenant une suite. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 4 080 mains contenant une suite. http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. La probabilité d’avoir une suite est donc 4 080 201 376 = 255 12856 = 0, 019 . . . 7) Il y a 8 hauteurs possibles du brelan et pour chaque hauteur 4 3  = 4 brelans possibles. Donc, 8 × 4 = 32 brelans possibles. On a 28 possibilités de compléter ce brelan par une quatrième carte puis 24 possibilités de compléter par une cinquième carte. L’ordre dans lequel on a reçu les deux dernières cartes n’a pas d’importance et donc il y a 32× 28 × 24 2 = 10 752 mains contenant un brelan. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 10 752 mains contenant un brelan. La probabilité d’avoir un brelan est donc 10 752 201 376 = 0, 053 . . . 8) Il y a 8 2  = 28 hauteurs possibles des deux paires et pour chaque hauteur 4 2  = 6 doubles paires possibles. Donc, 8 2  × 4 2  × 4 2  = 28 × 6 × 6 = 1 008 doubles paires possibles. On a ensuite 24 possibilités de compléter ces deux paires par une cinquième carte. Il y a 1 008 × 24 = 24 192 mains contenant deux paires. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 24 192 mains contenant deux paires. La probabilité d’avoir deux paires est donc 24 192 201 376 = 0, 12 . . . 9) Il y a 8 × 4 2  = 48 paires. On complète par une 3ème, 4ème et 5ème carte soit 28 × 24 × 20 possibilités. L’ordre dans lequel on reçoit ces cartes n’a pas d’importance et il y a donc 48 × 28 × 24 × 20 3 × 2 = 107 520. Avec un jeu de trente-deux cartes, il y a 107 520 mains contenant une paire. La probabilité d’avoir une paire est donc 107 520 201 376 = 0, 53 . . . Exercice no 2 Le nombre de mains est le nombre de parties à 5 éléments d’un ensemble à 32 éléments. Il y en a 32 5  = 32 × 31 × 30 × 29 × 28 5 × 4 × 3 × 2 = 8 × 31 × 29 × 28 = 201 376. 1) On prend une carte parmi les 4 rois et 4 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des rois. Au total, 4 1  × 28 4  = 4 × 28 × 27 × 26 × 25 4 × 3 × 2 = 4 × 7 × 9 × 13 × 25 = 81 900 mains contenant exactement un roi. 2) On prend 2 cartes parmi les 8 piques et 3 cartes parmi les 24 qui ne sont pas des piques. Au total, 8 2  × 24 3  = 8 × 7 2 × 24 × 23 × 22 3 × 2 = 4 × 7 × 4 × 23 × 22 = 56 672 mains contenant exactement deux piques. 3) On prend 2 cartes parmi les 8 piques et 2 cartes parmi les 8 cœrus et 1 cartes parmi les 16 qui ne sont ni des piques, ni des cœurs. Au total, 8 2  × 8 2  × 16 1  = 28 × 28 × 16 = 12 544 mains contenant exactement deux piques et deux cœurs. 4) Le nombre de mains contenant 0 carreau est 24 5  = 24 × 23 × 22 × 21 × 20 5 × 4 × 3 × 2 = 4 × 23 × 22 × 21 = 42 504 et le nombre de mains contenant 1 carreau est 8 1  × 24 4  = 8 × 24 × 23 × 22 × 21 4 × 3 × 2 = 8 × 23 × 22 × 21 = 85 008. Le nombre de mains http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. contenant aux moins deux carreaux est le nombre total de mains auquel on retranche le nombre de mains contenant au plus un carreau. Au total, il y a 32 8  − 24 5  − 8 1  × 24 4  = 201 376 −42 504 −85 008 = 73 864 mains contenant au moins deux carreaux. 5) Il y a 32 −11 = 21 cartes qui ne sont ni des rois, ni des trèfles. Le nombre de mains contenant deux trèfles et un roi qui n’est pas le roi de trèfles est 3 1  × 7 2  × 21 2  = 3 × 21 × 21 × 10 = 13 230 et le nombre de mains contenant exactement deux trèfles et un roi qui est le roi de trèfle est 1 1  × 7 1  × 21 3 = 7 × 21 × 20 × 19 3 × 2 = 7 × 7 × 10 × 19 = 9 310. Au total, il y a 13 230 + 9 310 = 22 540 mains contenant exactement un roi et deux trèfles. Exercice no 3 1) Il y a 49 6  tirages possibles avec 49 6  = 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 6 × 5 uploads/Geographie/ 37-denombrements-corrige.pdf

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