Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Calendrier, mathématiques et algorithmique Marc Roux(*) Introduction Des amis a

Calendrier, mathématiques et algorithmique Marc Roux(*) Introduction Des amis allemands m’ont offert un beau calendrier. Ignorant tout de la langue de Goethe, et en particulier la traduction de « lundi, mardi, mercredi, … », je me suis aperçu très vite que sa consultation ne m’apportait guère ; et j’ai ainsi pris conscience de l’utilité première du calendrier : indiquer la correspondance entre jours du mois et jours de la semaine. J’ai alors pensé qu’il devait être possible de réaliser un fichier informatique dans lequel, en entrant le millésime, on obtiendrait automatiquement le calendrier de l’année choisie ; et que ce travail pourrait trouver sa place dans l’enseignement de l’algorithmique au lycée. Au cours de cette construction, et de quelques digressions, nous rencontrerons plusieurs thèmes inscrits (ou non) au programme de mathématiques : suites, dénombrements, fonction partie entière, congruences, connecteurs logiques, probabilités, modélisation, … 1. Calendriers Il existe et il a existé bien des types de calendriers : lunaires, luni-solaires, solaires et autres ; dans cette étude, je ne considèrerai que notre calendrier solaire usuel, dit grégorien, et son prédécesseur le calendrier julien. Pour découvrir les autres, voir 4.5. L’année (durée de la révolution de la Terre autour du Soleil) vaut environ 365 jours ; mais en fait, elle est proche de 365 + 1/4, d’où l’existence des années bissextiles. Dans le calendrier julien (de Jules César), il y en avait simplement une tous les 4 ans. Mais on s’aperçut que cet ajout était excessif d’environ 1/100, d’où l’idée de supprimer une année bissextile tous les 100 ans (millésimes se terminant par 00) ; mais cette suppression, à son tour, est excessive, d’où le rajout d’une année bissextile tous les 400 ans (millésimes divisibles par 400). On obtient ainsi le calendrier grégorien, du nom du pape Grégoire XIII qui l’institua dans le monde chrétien, en 1582. Nous l’utiliserons encore pendant pas mal de siècles (mais pas éternellement car la durée de l’année n’est évidemment pas exactement égale à 365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 ; un jour lointain une nouvelle correction sera nécessaire(1)) ; les calculs qui suivent sont donc valables pour les années allant de 1583 à quelques milliers. Dans nos classes 155 APMEP no 498 (*) marc.roux15@wanadoo.fr (1) Wikipedia (article « Calendrier grégorien ») dit que « … on arrive à une année de 365,2425 jours au lieu de 365,24219 jours soit un excès de trois jours en 10 000 ans. Il a été proposé d’amender la règle pour considérer les années multiples de 4 000 comme normales. Mais du fait du raccourcissement de l’année tropique évalué à 0,5 s par siècle et de l’allongement du jour de 1,64 milliseconde par siècle, il est illusoire d’arriver à ce niveau de précision, les incertitudes sur la durée de l’année sur 10 000 ans étant du même ordre de grandeur ». Dans la partie 4, nous évoquerons rapidement des prolongements possibles : établissement des calendriers pour les années antérieures à 1583, ainsi qu’ajout de renseignements autres que les jours de la semaine, et découverte d’autres calendriers dans la bibliographie. 2. Mathématiques 2.1 Modélisation et notations Un calendrier est une liste (ou suite finie) de 12 listes (les mois), de longueurs 28, 29, 30 ou 31, à termes pris dans l’ensemble {LUN, MAR, MER, JEU, VEN, SAM, DIM}, dans un ordre immuable et circulaire. Mais en fait ces 12 listes ne sont que des sous-listes, consécutives, d’une liste A (comme Année) de 366 ou 365 (selon que l’année est bissextile ou non) jours de la semaine, chacun étant représenté par un entier modulo 7 : DIM = 0, LUN = 1, etc(2). Ainsi nous pouvons dire que le successeur du jour k est toujours k + 1, en prenant l’addition au sens du groupe cyclique Z/7Z. Si on désigne par L la longueur de l’année (L = 365 ou 366), on aura pour tout k, 2 £ k £ L : Ak = Ak-1 + 1 [mod 7]. Les mois seront alors les listes suivantes : JANVIER = (A1, …, A31) ; si l’année n’est pas bissextile : FÉVRIER = (A32,…,A59), MARS = (A60,…,A90), AVRIL = (A91,…,A120), etc. ; si l’année est bissextile : FÉVRIER = (A32,…,A60), MARS = (A61,…,A91), AVRIL = (A92,…,A121), etc. 2.2 Dénombrer les calendriers Ce qui précède montre qu’un calendrier est totalement déterminé dès qu’on connaît le jour de la semaine correspondant au 1er janvier (ou, plus généralement, dès qu’on connaît le jour de la semaine d’une date précise), et qu’on sait si l’année est bissextile ou non. Une question rudimentaire de dénombrement par arbre permettra à tout lycéen de trouver qu’il existe 14 calendriers possibles. Nous désignerons par Blun, Bmar, Bmer, etc. les calendriers des années bissextiles commençant respectivement par un lundi, un mardi, un mercredi, …, et de même par Nlun, Nmar, Nmer, … les années non bissextiles. Par exemple 2011 est du type Nsam, 2012 est du type Bdim. La question se pose de savoir si ces 14 calendriers sont effectivement possibles ; on peut également s’interroger sur la fréquence de chacun d’eux. 365 est congru à 1 modulo 7, ce qui entraîne que, si l’année n est non-bissextile et commence par un jour k, l’année n + 1 commence par le jour k + 1 [mod 7], et si n est bissextile, n + 1 commence par k + 2 [mod 7]. Si n est bissextile, n + 4 (bissextile en général) commence par le jour k + 5 ; 5 et 7 étant premiers entre eux, on est assuré d’obtenir par itération chaque élément de Z/7Z. En termes plus concrets : les années bissextiles 2000, 2004, 2008, 20012, 2016, 2020, 2024 commencent respectivement 156 Dans nos classes APMEP no 498 (2) Choix arbitraire, bien sûr ; dans l’ouvrage cité en 4.5, Jean Lefort opte pour 0 = lundi, 1 = mardi, etc. par SAM, JEU, MAR, DIM, VEN, MER, LUN, et le cycle se reproduit ensuite jusqu’en 2100 non compris, car 2100 n’est pas bissextile ; les calendriers Blun, Bmar, Bmer, etc. se rencontrent donc périodiquement, tant qu’on n’atteint pas une année séculaire. Les calendriers d’années non bissextiles se rencontrent également tous, puisque 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010 commencent respectivement par LUN, MAR, MER, SAM, DIM, LUN, JEU, VEN ; mais ici on ne distingue pas de cycle régulier, LUN revient avant que les 7 jours soient apparus ; nous reprendrons plus loin l’étude des fréquences. 2.3 Trouver les années bissextiles Une bonne occasion de faire manipuler les connecteurs ET, OU, NON : la définition des années bissextiles du calendrier grégorien doit amener nos élèves à écrire : n est bissextile si et seulement si (n est divisible par 4 ET n non divisible par 100) OU (n est divisible par 400). En vue de la construction d’algorithmes, et de leur mise en pratique sur différents logiciels, il sera bon de montrer que « n est divisible par p » se traduit par « n/p est un entier », ou encore, en notant E la fonction Partie entière, « n/p - E(n/p) = 0 ». D’autre part, on pourra s’interroger sur la nécessité de parenthèses dans la condition ; en général, p, q, r étant des propositions, (p et q) ou r n’est pas équivalent à p et (q ou r) ; mais ici, p (n multiple de 4) et r (n multiple de 400) ne sont pas indépendants, car r ne peut pas être vrai sans que p le soit ; au temps où nos élèves étaient familiers des tables de vérité, nous aurions pu leur montrer que ceci élimine les deux seules lignes où les résultats sont différents : p q r p et q (p et q) ou r q ou r p et (q ou r) V V V V V V V V V F V V V V V F V F V V V V F F F F F F F V V F V V F F V F F F V F F F V F V V F F F F F F F F On peut donc, ici, se passer de parenthèses, mais les programmes étant ce qu’ils sont, il vaudra mieux les conserver. 2.4 Trouver le premier jour de l’année Un découpage en questions intermédiaires plus ou moins détaillé, selon le niveau de la classe, devrait permettre aux élèves d’obtenir les résultats suivants : En désignant comme indiqué plus haut DIM par 0, LUN par 1, etc. (entiers modulo 7), notons I(n) le premier jour de l’année n. Par commodité, et au mépris de toute vraisemblance historique, nous supposerons l’existence d’une année 0 (bissextile puisque 0 est divisible par 400 ; et commençant le 1er janvier). Le 1er jour de l’année Calendrier, mathématiques et algorithmique 157 APMEP no 498 n s’obtient en ajoutant à I(0) : le nombre n (car une année « normale » amène un décalage d’un jour) + le nombre d’années bissextiles ayant précédé n. Si les années bissextiles étaient toutes celles dont uploads/Geographie/ aaa12021.pdf