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Géométrie au collège La ressource qui suit a été produite dans le cadre de l'ac

Géométrie au collège La ressource qui suit a été produite dans le cadre de l'accompagnement des programmes de mathématiques publiés en 2008. A ce titre, elle s'inscrit dans un cadre pédagogique désormais ancien. Néanmoins, elle propose des éléments toujours utiles et pertinents pour aborder le thème de la géométrie en vigueur dans le nouveau programme de mathématiques du cycle 4. mars 2016 © MENESR/DGESCO http://eduscol.education.fr Ressources pour le collège eduSCOL Ressources d'accompagnement des anciens programmes 8eduscol.education.fr/D0015/ Mathématiques Collège - Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collège - - Géométrie au collège - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, même partielle, à d'autres fins ou dans une nouvelle publication, est soumise à l'autorisation du directeur général de l'Enseignement scolaire. Juillet 2007 Direction générale de l’enseignement scolaire- Bureau des programmes d’enseignement Projet de document d’accompagnement mathématiques- Géométrie- page 1 1 GÉOMÉTRIE Plus encore qu'à l’école primaire, l'enseignement de la géométrie occupe une place importante dans la formation des élèves en mathématique. De fait, les programmes de géométrie reposent sur deux idées essentielles : - continuer à développer les dimensions perceptive et instrumentée de la pratique de la géométrie de l'école primaire ; - initier à la géométrie déductive dans le prolongement du travail entrepris sur le raisonnement. Les pratiques mises en œuvre à l'école primaire (observation, description, reproduction, représentation, construction, mesurage, argumentation) se développent sur des objets déjà rencontrés ou sur des objets nouveaux, réels ou représentés. Pour les élèves, le statut théorique des objets étudiés se précise au fur et à mesure que leur sont conférées des définitions ou des propriétés caractéristiques. En effet, à côté des propriétés rencontrées à l'école primaire (alignement, parallélisme, perpendicularité, égalité de longueurs, d’angles ou d’aires, présence d'un axe de symétrie), obtenues ou constatées à l'aide d'instruments, sont installées de nouvelles propriétés des objets du plan1 (par exemple, les propriétés caractéristiques des quadrilatères usuels), auxquelles se réfèrent les argumentations et sur lesquelles peut se développer l'apprentissage du raisonnement déductif. I- Objectifs généraux D'une manière plus globale, l'enseignement de la géométrie contribue, comme celui des autres rubriques des programmes, à la pratique de l'activité mathématique par les élèves de collège. À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. (BO hors série n°6 avril 2007, Mathématiques, Introduction générale pour le collège : les mathématiques comme discipline de formation générale) Au delà de cette description générale, trois finalités primordiales et complémentaires peuvent être distinguées et assignées à l'enseignement de la géométrie au collège : • Fournir des bases pour développer une capacité à géométriser un problème spatial ou non, ce qui implique la nécessité de construire un modèle à l’aide d’objets géométriques et de le travailler à l’aide de savoirs géométriques. Cette dimension fondamentale est soulignée dans le rapport de la CREM2 sur l'enseignement de la géométrie : "De fait, chaque mathématicien a ses représentations concrètes de situations complexes qui lui servent de raccourcis de pensée…" "Penser géométriquement, c'est avoir une vision globale d'une question mathématique, la perception plus locale intervenant ensuite, notamment avec les calculs." 1 Les objets de l'espace, quant à eux, continuent à faire l'objet d’une approche à caractère essentiellement expérimental au collège. 2 Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques, présidée par Jean-Pierre Kahane. Direction générale de l’enseignement scolaire- Bureau des programmes d’enseignement Projet de document d’accompagnement mathématiques- Géométrie- page 2 2 • Fournir un cadre pour développer les capacités à expérimenter et à mettre en œuvre des démarches d'investigation. Cet axe prend toute sa signification dans le contexte plus général de l'enseignement des sciences au collège.3 • Fournir l'un des supports de l'apprentissage du raisonnement déductif.4,5 Ce sont ces trois objectifs qui fournissent les axes de réflexion des paragraphes qui suivent. II- D'une géométrie instrumentée à une géométrie théorique - De l'objet réel à sa modélisation Géométriser un problème, c'est transposer le problème, qui peut être concret ou non, le plus souvent spatial au niveau du collège, dans le cadre de la géométrie afin de le simplifier et de le résoudre. C'est le cas, par exemple, lors du calcul de l'aire d'un champ. Le champ réel a une certaine forme. Le processus de modélisation géométrique comporte deux étapes : - assimilation du champ à une surface plane limitée par des portions de lignes droites ; - assimilation de cette surface à un polygone élémentaire (trapèze dans l’exemple qui suit) ou un agencement de plusieurs polygones simples. Le recours à un schéma pour ''simplifier'' et s'approprier la situation étudiée illustre ce passage de la réalité au domaine de la géométrie. La figure géométrique intervient ainsi comme une maquette de la réalité. Ces transferts sont déjà travaillés à l'école primaire. Cette habitude du recours à une visualisation simplificatrice peut paraître naturelle à certains élèves à l'entrée au collège, mais reste à construire pour beaucoup d'autres. Il est donc indispensable de travailler cette compétence. Une fois le transfert effectué dans le cadre géométrique, la résolution du problème repose sur des propriétés attachées aux objets qui sont utilisés alors comme des modèles. Le modèle référent possède un statut mathématique organisé en propriétés. Le schéma ''simplifie'' donc mais ajoute aussi des éléments de connaissance. Ainsi, dans l'exemple précédent du champ trapézoïdal, on passe du champ à un trapèze, puis, enfin au ''Trapèze'' dont on peut calculer l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l’aide de hauteurs issues de deux sommets qui ne correspondent à rien dans la réalité. - Deux types de situation • Deux types de situations peuvent se présenter selon que le statut de modèle mathématique est à créer ou bien est déjà installé. Considérons, par exemple, l’activité suivante, utilisée dans le but de mettre en place la caractérisation des points d’un cercle. Cette activité permet de travailler une nouvelle conception du cercle illustrée par le passage d’une ligne tracée au compas à une figure constituée de points ayant une même caractéristique. 3 Voir l’introduction générale des programmes des disciplines scientifiques : BO hors série n°6, avril 2007. 4 Le bien fondé de la présence de l'apprentissage de la géométrie déductive dans l'enseignement des mathématiques en France fait l'objet d'un large développement dans le rapport de la CREM. 5 Cet aspect est développé dans le document d'accompagnement sur le raisonnement et la démonstration. Direction générale de l’enseignement scolaire- Bureau des programmes d’enseignement Projet de document d’accompagnement mathématiques- Géométrie- page 3 3 Les deux chiens Sophie doit aller chercher du lait à la ferme dont la cour est représentée par le schéma ci-contre (feuille donnée aux élèves). En A et B sont attachés deux chiens. En A, Azor avec une chaîne de 6 mètres En B, Balthazar avec une chaîne de 5 mètres. Sophie pourra-t-elle aller jusqu'à la porte de la ferme sans se faire mordre ? Travail de l'élève (début de 6ème): Une étape initiale (qui n'est pas demandée à l'élève) consiste à utiliser un ''plan'' pour représenter la cour de ferme. Ce plan est fourni à l’élève. L'échelle (1 cm pour 1 m) n'est pas Direction générale de l’enseignement scolaire- Bureau des programmes d’enseignement Projet de document d’accompagnement mathématiques- Géométrie- page 4 4 indiquée mais peut être déterminée à partir de la donnée de la largeur de la cour. La notion de longueur d'un segment est déjà installée. Il est possible de remarquer deux étapes successives de modélisation : 1- l'élève modélise la chaîne tendue par un simple segment (dessiné dans plusieurs positions). L'objet est encore matériel même s'il ''possède'' une longueur, propriété bien mathématique. Les chiens sont aussi réduits à des points, ce qui semble mettre en évidence chez cet enfant le début d'une mathématisation de la situation. 2- les arcs de cercles marquent une étape caractérisée par une nouvelle modélisation faisant intervenir le cercle du point de vue d’une propriété caractéristique de ses points. Cet exemple montre ainsi un premier pas vers la mise en place conceptuelle de la propriété caractéristique des points d'un cercle à partir d'une vision concrète et intuitive de l'enfant. Il est possible que le cercle n’apparaisse qu’après que l’élève a tracé plusieurs segments dont il ''voit'' alors que les extrémités semblent appartenir à une figure connue. Le problème proposé pourrait tout aussi bien servir au réinvestissement de la même propriété (l'ensemble des points équidistants d'un point donné est le cercle…) après sa mise en place. Il s’agit alors de la deuxième des situations évoquées en titre : le statut du cercle comme ensemble de points caractérisés par la propriété d’équidistance à un point peut être alors utilisé directement. Des situations similaires (mise en évidence de propriétés ou réinvestissement de ces propriétés) peuvent être construites notamment à partir des représentations uploads/Geographie/ acc-clg-geometrie-109170.pdf