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5 APPRENTISSAGE DE LA DEMONSTRATION (1) (géométrie de 4ème) Dominique GAUD Ecol

5 APPRENTISSAGE DE LA DEMONSTRATION (1) (géométrie de 4ème) Dominique GAUD Ecole Normale, Poitiers Jean-Paul GUICHARD Lycée Ernest Pérochon, Parthenay 1- DES CONSTATS. Ce qui a motivé notre recherche de nouvelles stratégies d'enseignement c'est surtout un constat d'échec global en ce qui concerne la capacité pour les élèves de 4ème de mettre en forme une démonstration en particulier en géométrie. Il nous semblait qu'il y avait sur ce point un consensus pour un grand nombre d'enseignants de mathématiques en 4ème(2). D'ailleurs, côté élève, la situation était aussi très mal vécue et il était difficile de fermer les yeux lorsque, par exemple, à la rentrée, les élèves de 3ème s'intérrogeant sur le «programme», posaient toujours les questions: «Est-ce qu'on va encore faire de la géométrie? Est-ce qu'il y aura encore des démons trations ?» Et les réactions à la réponse donnée en disaient long... Pourquoi ce biocage ? Tentons quelques explications. D'abord fait-on un réel apprentissage de la démons tration ? Tout apprentissage demande temps, méthodes, répétitions. Ces trois phases se retrouvent en algèbre. Par exemple à propos des identités remarquables ou des opérations sur les rationnels le schéma est souvent le suivant: - méthode (pour développer qu pour additionner et multiplier), - l'élève appl~que, on lui fournit pour cela une batterie d'exercices d'un même type. En géométrie on est bien souvent loin de cetté démarche: le maître réexpose de manière axiomatique les propriétés des figures, que les élèves connaissent déjà. (1) NdlR : le travail dont il est rendu compte dans cet article a fait l'objet d'une publication de l'IREM de Poitiers, D. GAUD et J.P. GUICHARD, «Pour apprendre à démontrer», juin 1983. (2) Ce que· confirme le «succés» des stages «Apprentissage de la démonstration en géométrie de 4ème» proposés par l'IREM de Poitiers depuis 2 ans. «petit X) nO 4, pp. 5 à 25, 1984 6 Les élèves ne comprennent pas cette étrange révision. Qu'apporte alors l'exposé axiomatique? - Puisque le maître expose, le temps d'apprentissage des élèves est réduit: comparez ce temps d'apprentissage avec celui de l'algèbre. - Beaucoup de «théorèmes» ou résultats démontrés dans le cours de géométrie ne sont pas opérationnels. On ne les utilise pas au niveau des exe~cices dans les démons trations. Or ces théorèmes ont le même statut logique .que ceux que l'on utilise. Les élèves s'y retrouvent-ils? (Par exemple: une droite partage le plan en deux demi-plans, ou un demi-plan est convexe... ). - On ne donne pas de méthode aux élèves pour résoudre les problèmes (par exemple pour démontrer que des points sont alignés). Combien l'élève fait-il d'exercice utilisant une même méthode? Il - CE DONT IL EST QUESTION. l\Jotre travail sur l'apprentissage de la démonstration ne porte pas principa lement sur l'initiation au raisonnement(3) ou sur la démonstration comme outil de preuve(4), mais essentiellement sur la démonstration en tant que formulation d'un raisonnement déductif. Il s'agit d'apprendre à l'élève à rédiger de courtes démonstra tions (2 ou 3 déductions), d'apprendre à une majorité d'élève à bien répondre à la question «Démontre que...» c'est-à-dire à produire le discours déductif attendu du professeur. Trcmsposition didactique ? Peut-être, mais à travers cet apprentissage est visé l'apprentis~ge d'une méthode: raiSonner par conditions suffisantes en faisant des choix raisonnés au vu des données. Méthode (embryon d'heuristique ?) réexportable dans d'autres parties des mathématiques et d'autres matières. III - NOS HYPOTHESES. 1. Les raisonnements «sophistiqués» (démonstration par l'absurde, contra position...) sont inaccessibles dans un premier temps. Nous nous limiterons· donc à la démonstration déductive. 2. La difficulté d'une démonstration dépend de deux variables au moins le nombre de déductions élémentaires et le nombre d'énoncés mis en jeu {définition, (3) Voir l'article «Les Cosmonautes», M. LEGRAND, 1983, petit x nO 1. (4) Voir «Preuve et démonstration en mathématiques au collège», N. BALACHEFF, 1982, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 3 nO 3. 7 axiome ou théorème). Il est donc important de connaître la valeur de ces variables pour chaque exercice posé. 3. La difficulté d'une démonstration est double : logique et rédactionnelle il est donc bon de séparer les deux moments au niveau de "apprentissage. 4. L'important, en géométrie de 4ème, c'est la méthode. Donc le choix des exercices doit être guidé par les méthodes mises en jeu (comment démontrer que...). Ces méthodes varient suivant le type de géométrie considérée (géométrie synthétique, géométrie des transformations, géométrie vectorielle, géométrie analytique). 5. L'appropriation des concepts et des méthodes est dh;tincte de l'ordre logique de l'exposition. Tout point de départ semble donc possible.. 6. Démontrer cela s'apprend : ce n'est pas le résultat d'un «Euréka» pour grosse tête, c'est le fruit d'une méthode bien conduite. 7. L'élève apprend en faisant et non en regardant faire. Il faut donc privilégier la résolution d'exercices et de problèmes. 8. Il n'y a pas la rigueur, mais plusieurs niveaux de rigueur qui sont fonctions du type de discours tenu et du cadre dans lequel on se situe. 9. Il n~y a rien de facile ou d'évident pour "élève. Ne lui complique-t-on pas souvent inutilement la tâche? (5) • IV - NOTRE TRAVAIL: INGENIERIE DIDACTIQUE? Dans un premier temps nous nous limitons à la géométrie des figures (ou géoméùie synthétique). Nous découpons alors le programme de 4ème en un petit nombre de notions ou un petit nombre de méthodes. Par exemple: - pour les notions parallèle - parallélogramme, orthogonalité - rectangle, médiatrice, losange. (5) Rappelons ces mots d'Evariste Galois : «d'où vient cette malheureuse habitude de compliquer les questions de difficultés artificielles' 7 Croit-on donc que la science est trop fa<;ile 7». Lettre sur l'enseignement des sciences, Gazette des Ecoles, 2 janvier 1832. (Cf. aussi «Ecrits et Mémoires Mathé· matiques d'E. Galois», Bourgne et Azra, 1962, Gauthier-Villars, pp. 21-25). 8 - pour les méthodes : èomm~nt démontrer que: .'. deux droites sont parallèles, .' un quadrilatère est un par.allélogramme, •. un point est milieu d'un segment, • trois points sont alignés, .• un quadrilatère est un rectanglè, .";: .' deUx droites sontperpendiculaires; • ',un quadrilatè.reest un losange,· .•• deux distancês sont égales; . ·... Ensuite' sur chaque notion ou sùr chaque méthode nous délimitons un stock . d'énoncés (entre 1et 5) : ce Sont ceux qui nous semblent les plus opérationnels c'est à-dire ceux que I:onrencontre le plus s0l;lvent dans les exercices. Puis nous cherchons un «grand» (entre 8 et 15) nombre d'exercices utilisant ces énoncés. Èn fait il y a une dialectique entre ces deux phases: la recherche d'exer cices amène à enrichir ou appauvrir le stock de départ, et la constituti<;>n du stock C peut provenir de la recherche d'exercices sur la not.ion ou la méthode. Nous décortiquonS ces exercice~{solis forme «d'organigrammes») pour mettre à jour pour chacun d'eux: - le hombre de dédüctions élémentaires, - 1 e nOrhbte et leriom des énoncés Ut!lisés. Ce qui p~rmet un cl~ssement de ces exercices relativement ~ leur complexité formelle. -: . ~. EnsOite nous rédi~eonsà partir de l,à une fiche élève comportant : --. lès énoncés à utiliser, ~)e$ exeréÎces. Voir un 'exemple du travail professeur sur la notion parallèle-parallélogramme en annexe 1etuh exemple de la fiche élève correspondante en annexe II. v - SUR LE TERRAIN:MtSE EN SITUATION. 1.;Lâ ph~se prélimin~ire est une sensibilisation au travail qui va être demandé. Cette phase peût présenter pll,lsieurs formes qui' ne sont pas nécessairement incompa tibles. . Soit il s'agit d'activités propres à instiller le doute et à montrer que: - .voi·r surune figure, . - r'nèsur'êr' ou vérifier avèc dès' instruments de dessin , ~" ~ .. 9 ne suffit pas à justifier ce que l'on dit. (Voir «pour apprendre à démontrer» 1 REM de Poitiers, partie III). Il faut alors donner les «raisons» et pour cela utiliser les propriétés connues dont on dressera la liste au fur et à mesure. Dans ce cas on vise la démonstration comme outil de preuve. Soit il s'agit d'activités destinées à montrer le fonctionnement d'énoncés mathématiques connus à partir d'un puzzle fabriqué et effectivement manipulé par les élèves et donc d'initier ainsi à la règle du jeu. (Voir un exemple en annexe III). 2. Ensuite une première fiche (énoncés-exercices) sur un thème est distribuée aux élèves (voir par exemple la fiche de l'annexe Il). Les énoncés et notions sont en général connus des élèves (vus en 6ème-Sème). Si ce n'est pas le cas (par exemple l'énoncé P2 pour la fiche de l'annexe Il) l'énoncé nouveau est introduit: il s'agit de lui donner le même statut qu'aux autres, c'est-à-dire celui d'un énoncé vrai. On expli cite alors le contrat : ces énoncés sont les seuls outils disponibles pour répondre aux questions posées. 3. Chaque énoncé de la fiche est analysé sous un angle méthodologique (voir début de l'annexe 1) , que permet-il de prouver? Et pour prouver cela que faut-il savoir? Ce qui permet à chaque élève de mettre en place un fichier méthodologique. Par exemple pour la fiche donnée en annexe Il sur parallèle-parallélogramme on créera les deux première fiches sur le modèle: Fiche 1 : PARALLELOGRAMME. Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme 7 Méthode 1 : Méthode uploads/Geographie/ apprentissage-de-la-demonstration 1 .pdf