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Page : 1/3 ➢ Note : Regardez l'ensemble du sujet et repérez les parties que vou

Page : 1/3 ➢ Note : Regardez l'ensemble du sujet et repérez les parties que vous connaissez bien, Ou au contraire les parties qui vous semblent plus difficiles et débutez par ce que vous savez le mieux faire. Le barème prendra significativement en compte : la présentation, la lisibilité et le soin porté à l'argumentation des réponses. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. o Exercice 01:(04pts)  Soit ( )  n n u la suite numérique définie par : 0 4 = u et ( ) 1 5 4 ; 1 + −  = + n n n u n u u . 1)- a)- Calculer 1 u . b)- Montrer par récurrence que : ( ); 2   n n u . 0,25 0,75 2)- a)- Vérifier que : ( ) ( ) 2 1 2 ; 1 + − −  − = + n n n n u n u u u . b)- En déduire la monotonie de ( )  n n u , puis justifier qu’elle est convergente. 0,5 0,5 3)- On pose pour tout  n : 1 2 = − n n a u . a)- Montrer que la suite ( )  n n a est arithmétique de raison 1 3 = r . b)- Exprimer n a en fonction de n, puis en déduire que : ( ) 4 12 ; 2 3 +  = + n n n u n . c)- Déterminer lim →+ n n u en justifiant la réponse. 0,5 0,5 0,25 4)- On pose pour tout  n : 0 0 1 1 ... = + + + n n n S a u a u a u . ✓ Montrer que : ( ) 2 7 6 ; 3 + +  = n n n n S , puis calculer ( ) ln lim ln →+ n n S n . 0,75 Lycée Ibn Alyassamine Bac Blanc De Mathématique Délégation Hay Hassani - Casa 2ème Bac Sc Exp : Sc Ph + Svt Prof : Abdellah Belkhatir Durée : 03 heures Page : 2/3 o Exercice 02: (05pts) I- On considère dans l’ensemble l’équation : ( ) ( ) ( ) 2 : 2 1 2 2 2 2 0 − − + − = E z z . 1)- a)- Montrer que le discriminant de ( ) E est : 4 = −. b)- En déduire les solutions 1 z et 2 z de ( ) E tels que : ( ) 1 Im 0  z . 0,5 0,25 2)- a)- Calculer 1 z , puis montrer que : ( ) 1 1 1 . 2 + = −  i z z . b)- Déduire 1 z sous forme trigonométrique, puis calculer 11 cos 8        et 11 sin 8        . 0,5 0,5 II- On considère les points E , F et G d’affixes respectifs : 1 = + E z i , 1 = − F z i et 3 = − G z i 1)- Soit N l’image de F par l’homothétie hde centre G et de rapport 2. ✓ Montrer que l’affixe de N est : ( ) 2 3 2 = + − N z i . 0,25 2)- Soit r la rotation de centre Oet d’angle 2 . On pose : ( ) = A r G et ( ) = C r N . ✓ Montrer que : 3 = A z et 2 3 2 = − + C z i. 0,5 3)- Soit t la translation de vecteur ( ) 2 w i . On pose : ( ) = B t N et ( ) = D t G . ✓ Montrer que : 2 3 = + B z i et ( ) 2 3 = − D z i . 0,5 4)- a)- Montrer que E est milieu de   AC et de   BD . Que peut-on déduire ? b)- Vérifier que : − = − C E B E z z i z z , puis en déduire la nature du triangle BCE. c)- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse . 0,75 0,75 0,5 o Exercice 03: (11pts) I- Soit g la fonction définie sur   0;+par :   ( ) ( ) 1 0; ; 2ln  + = − − x g x x x x . 1)- a)- Montrer que :   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0; ; −   + = x x g x x . b)- En déduire la monotonie de g sur l’intervalle   0;+. 0,5 0,25 2)- Calculer ( ) 1 g , puis justifier que :   ( ) ( ) 0;1 ; 0   x g x et que   ( ) ( ) 1; ; 0  +  x g x . 0,75 Page : 3/3 II- On considère la fonction f définie sur   0;+par :   ( ) ( ) ( ) 2 1 0; ; ln 2  + = + − − x f x x x x . 1)- a)- Montrer que : ( ) 2 ln lim 0 →+ = x x x , puis en déduire que : ( ) lim →+ = + x f x . b)- Calculer : ( ) lim →+ x f x x et ( ) lim →+ − x f x x , puis en déduire que la courbe ( ) f C admet au voisinage de +une branche parabolique de direction la droite ( )  d’équation : = y x. 0,75 0,75 2)- a)- Vérifier que :   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 ln 2 0; ; + − −  + = x x x x f x x . b)- En déduire que : ( ) 0 lim + → = + x f x et donner une interprétation géométrique de ce résultat . 0,5 0,75 3)- a)- Montrer que :   ( ) ( ) ( ) 0; ;   + = g x x f x x . b)- Dresser le tableau de variation complet de f en justifiant la réponse . 0,75 0,75 4)- a)- Construire la courbe ( ) f C dans un repère orthonormé ( ) , , O i j . b)- Montrer géométriquement que l’équation ( ) ( ) 2 1 : ln 2 0 − − = E x x admet une unique solution a dans   0;+. 1 0,5 5)- Soit hla restriction de f à l’intervalle   1;+. a)- Montrer que hadmet une fonction réciproque 1 − h définie sur   0;+. b)- Construire la courbe ( ) 1 − h C dans le repère ( ) , , O i j . 0,75 1 6)- a)- Montrer que la fonction : ln − K x x x xest une primitive de la fonction : ln k x x sur   0;+. b)- En déduire que : ( ) 1 ln 1 =  e x dx . c)- En utilisant une intégration par parties, calculer la surface délimitée par la courbe ( ) f C , la droite ( ) et les droites d’équations : 1 = x et = x e. 0,5 0,5 1 Fin Du Sujet. uploads/Geographie/ bac-blanc-sc-ph-2021.pdf